Theorem metrel 12681

Description: The class of metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrel	|- Rel Met

Proof of Theorem metrel

Dummy variables e d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4707	. 2 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
2		df-met 12328	. . 3 |- Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4662	. 2 |- ( Rel Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 145	1 |- Rel Met

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   A.wral 2432   {crab 2436   _Vcvv 2709   class class class wbr 3961   |-> cmpt 4021   X. cxp 4577   Rel wrel 4584  (class class class)co 5814   ^m cmap 6582   RRcr 7710   0cc0 7711   + caddc 7714   <_ cle 7892   Metcmet 12320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-xp 4585  df-rel 4586  df-met 12328

This theorem is referenced by:  metflem  12688  ismet2  12693