Theorem metrel 14975

Description: The class of metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrel	|- Rel Met

Proof of Theorem metrel

Dummy variables e d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4825	. 2 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
2		df-met 14468	. . 3 |- Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4777	. 2 |- ( Rel Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel Met

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2777   class class class wbr 4060   |-> cmpt 4122   X. cxp 4692   Rel wrel 4699  (class class class)co 5969   ^m cmap 6760   RRcr 7961   0cc0 7962   + caddc 7965   <_ cle 8145   Metcmet 14460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-xp 4700  df-rel 4701  df-met 14468

This theorem is referenced by:  metflem  14982  ismet2  14987