Theorem metrel 14889

Description: The class of metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrel	|- Rel Met

Proof of Theorem metrel

Dummy variables e d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4814	. 2 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
2		df-met 14382	. . 3 |- Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4766	. 2 |- ( Rel Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel Met

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   A.wral 2485   {crab 2489   _Vcvv 2773   class class class wbr 4051   |-> cmpt 4113   X. cxp 4681   Rel wrel 4688  (class class class)co 5957   ^m cmap 6748   RRcr 7944   0cc0 7945   + caddc 7948   <_ cle 8128   Metcmet 14374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-xp 4689  df-rel 4690  df-met 14382

This theorem is referenced by:  metflem  14896  ismet2  14901