Theorem metrel 15136

Description: The class of metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrel	|- Rel Met

Proof of Theorem metrel

Dummy variables e d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4864	. 2 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
2		df-met 14624	. . 3 |- Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4815	. 2 |- ( Rel Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) + ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel Met

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   X. cxp 4729   Rel wrel 4736  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   RRcr 8074   0cc0 8075   + caddc 8078   <_ cle 8257   Metcmet 14616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-xp 4737  df-rel 4738  df-met 14624

This theorem is referenced by:  metflem  15143  ismet2  15148