Theorem metrel 13136

Description: The class of metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
metrel	⊢ Rel Met

Proof of Theorem metrel

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4739	. 2 ⊢ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) + (𝑧𝑑𝑦)))})
2		df-met 12783	. . 3 ⊢ Met = (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) + (𝑧𝑑𝑦)))})
3	2	releqi 4694	. 2 ⊢ (Rel Met ↔ Rel (𝑒 ∈ V ↦ {𝑑 ∈ (ℝ ↑𝑚 (𝑒 × 𝑒)) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑒 ∀𝑦 ∈ 𝑒 (((𝑥𝑑𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑒 (𝑥𝑑𝑦) ≤ ((𝑧𝑑𝑥) + (𝑧𝑑𝑦)))}))
4	1, 3	mpbir 145	1 ⊢ Rel Met

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∀wral 2448  {crab 2452  Vcvv 2730   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050   × cxp 4609  Rel wrel 4616  (class class class)co 5853   ↑_𝑚 cmap 6626  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   ≤ cle 7955  Metcmet 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-xp 4617  df-rel 4618  df-met 12783

This theorem is referenced by:  metflem  13143  ismet2  13148