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Theorem ismet2 15378
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
Proof of Theorem ismet2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metrel 15366 . . 3 |- Rel Met
2 relelfvdm 5722 . . . 4 |- ( ( Rel Met /\ D e. ( Met ` X ) ) -> X e. dom Met )
32elexd 2835 . . 3 |- ( ( Rel Met /\ D e. ( Met ` X ) ) -> X e. _V )
41, 3mpan 428 . 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. _V )
5 xmetrel 15367 . . . . 5 |- Rel *Met
6 relelfvdm 5722 . . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
75, 6mpan 428 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
87elexd 2835 . . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
98adantr 276 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> X e. _V )
10 simpllr 540 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z e. X )
12 simplrl 541 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> x e. X )
1310, 11, 12fovcdmd 6224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( z D x ) e. RR )
14 simplrr 542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> y e. X )
1510, 11, 14fovcdmd 6224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( z D y ) e. RR )
1613, 15rexaddd 10235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
1716breq2d 4137 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
1817ralbidva 2546 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
1918anbi2d 468 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
20192ralbidva 2572 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
21 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
22 ressxr 8359 . . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
23 fss 5541 . . . . . . . 8 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ RR C_ RR* ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2421, 22, 23sylancl 417 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2524biantrurd 305 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2620, 25bitr3d 190 . . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2726pm5.32da 456 . . . 4 |- ( X e. _V -> ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) ) )
28 ancom 266 . . . 4 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
2927, 28bitrdi 196 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
30 ismet 15368 . . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
31 isxmet 15369 . . . 4 |- ( X e. _V -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3231anbi1d 469 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
3329, 30, 323bitr4d 220 . 2 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
344, 9, 33pm5.21nii 716 1 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   RR*cxr 8349   <_ cle 8351   +ecxad 10151   *Metcxmet 14845   Metcmet 14846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-rnegex 8278
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-xadd 10154  df-xmet 14853  df-met 14854
This theorem is referenced by:  metxmet  15379  metres2  15405  xmetresbl  15464  bdmet  15526
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