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Theorem ismet2 12343
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
Proof of Theorem ismet2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metrel 12331 . . 3 |- Rel Met
2 relelfvdm 5407 . . . 4 |- ( ( Rel Met /\ D e. ( Met ` X ) ) -> X e. dom Met )
32elexd 2670 . . 3 |- ( ( Rel Met /\ D e. ( Met ` X ) ) -> X e. _V )
41, 3mpan 418 . 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. _V )
5 xmetrel 12332 . . . . 5 |- Rel *Met
6 relelfvdm 5407 . . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
75, 6mpan 418 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
87elexd 2670 . . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
98adantr 272 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> X e. _V )
10 simpllr 506 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
11 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z e. X )
12 simplrl 507 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> x e. X )
1310, 11, 12fovrnd 5869 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( z D x ) e. RR )
14 simplrr 508 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> y e. X )
1510, 11, 14fovrnd 5869 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( z D y ) e. RR )
1613, 15rexaddd 9530 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
1716breq2d 3907 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
1817ralbidva 2407 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
1918anbi2d 457 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
20192ralbidva 2431 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
21 simpr 109 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
22 ressxr 7733 . . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
23 fss 5242 . . . . . . . 8 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ RR C_ RR* ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2421, 22, 23sylancl 407 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2524biantrurd 301 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2620, 25bitr3d 189 . . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2726pm5.32da 445 . . . 4 |- ( X e. _V -> ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) ) )
28 ancom 264 . . . 4 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
2927, 28syl6bb 195 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
30 ismet 12333 . . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
31 isxmet 12334 . . . 4 |- ( X e. _V -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3231anbi1d 458 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
3329, 30, 323bitr4d 219 . 2 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
344, 9, 33pm5.21nii 676 1 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   class class class wbr 3895   X. cxp 4497   dom cdm 4499   Rel wrel 4504   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   + caddc 7550   RR*cxr 7723   <_ cle 7725   +ecxad 9450   *Metcxmet 11992   Metcmet 11993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1re 7639  ax-addrcl 7642  ax-rnegex 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-xadd 9453  df-xmet 12000  df-met 12001
This theorem is referenced by:  metxmet  12344  metres2  12370  xmetresbl  12429  bdmet  12491
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