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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ismet2 | Unicode version |
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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ismet2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | metrel 12331 |
. . 3
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2 | relelfvdm 5407 |
. . . 4
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3 | 2 | elexd 2670 |
. . 3
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4 | 1, 3 | mpan 418 |
. 2
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5 | xmetrel 12332 |
. . . . 5
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6 | relelfvdm 5407 |
. . . . 5
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7 | 5, 6 | mpan 418 |
. . . 4
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8 | 7 | elexd 2670 |
. . 3
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9 | 8 | adantr 272 |
. 2
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10 | simpllr 506 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | simplrl 507 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | 10, 11, 12 | fovrnd 5869 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | simplrr 508 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | 10, 11, 14 | fovrnd 5869 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | 13, 15 | rexaddd 9530 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | breq2d 3907 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | ralbidva 2407 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | anbi2d 457 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | 2ralbidva 2431 |
. . . . . 6
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21 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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22 | ressxr 7733 |
. . . . . . . 8
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23 | fss 5242 |
. . . . . . . 8
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24 | 21, 22, 23 | sylancl 407 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | biantrurd 301 |
. . . . . 6
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26 | 20, 25 | bitr3d 189 |
. . . . 5
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27 | 26 | pm5.32da 445 |
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28 | ancom 264 |
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29 | 27, 28 | syl6bb 195 |
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30 | ismet 12333 |
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31 | isxmet 12334 |
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32 | 31 | anbi1d 458 |
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33 | 29, 30, 32 | 3bitr4d 219 |
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34 | 4, 9, 33 | pm5.21nii 676 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-sep 4006 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 ax-cnex 7636 ax-resscn 7637 ax-1re 7639 ax-addrcl 7642 ax-rnegex 7654 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 946 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-nel 2378 df-ral 2395 df-rex 2396 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-if 3441 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-iun 3781 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-id 4175 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-ima 4512 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-fv 5089 df-ov 5731 df-oprab 5732 df-mpo 5733 df-1st 5992 df-2nd 5993 df-map 6498 df-pnf 7726 df-mnf 7727 df-xr 7728 df-xadd 9453 df-xmet 12000 df-met 12001 |
This theorem is referenced by: metxmet 12344 metres2 12370 xmetresbl 12429 bdmet 12491 |
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