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Theorem ismet2 15043
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
Proof of Theorem ismet2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metrel 15031 . . 3 |- Rel Met
2 relelfvdm 5661 . . . 4 |- ( ( Rel Met /\ D e. ( Met ` X ) ) -> X e. dom Met )
32elexd 2813 . . 3 |- ( ( Rel Met /\ D e. ( Met ` X ) ) -> X e. _V )
41, 3mpan 424 . 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> X e. _V )
5 xmetrel 15032 . . . . 5 |- Rel *Met
6 relelfvdm 5661 . . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
75, 6mpan 424 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
87elexd 2813 . . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. _V )
98adantr 276 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> X e. _V )
10 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> z e. X )
12 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> x e. X )
1310, 11, 12fovcdmd 6156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( z D x ) e. RR )
14 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> y e. X )
1510, 11, 14fovcdmd 6156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( z D y ) e. RR )
1613, 15rexaddd 10062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) = ( ( z D x ) + ( z D y ) ) )
1716breq2d 4095 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
1817ralbidva 2526 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) )
1918anbi2d 464 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
20192ralbidva 2552 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) )
21 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
22 ressxr 8201 . . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
23 fss 5485 . . . . . . . 8 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ RR C_ RR* ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2421, 22, 23sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2524biantrurd 305 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2620, 25bitr3d 190 . . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ D : ( X X. X ) --> RR ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2726pm5.32da 452 . . . 4 |- ( X e. _V -> ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) ) )
28 ancom 266 . . . 4 |- ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
2927, 28bitrdi 196 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
30 ismet 15033 . . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) + ( z D y ) ) ) ) ) )
31 isxmet 15034 . . . 4 |- ( X e. _V -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3231anbi1d 465 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) <-> ( ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
3329, 30, 323bitr4d 220 . 2 |- ( X e. _V -> ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) ) )
344, 9, 33pm5.21nii 709 1 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   dom cdm 4719   Rel wrel 4724   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   + caddc 8013   RR*cxr 8191   <_ cle 8193   +ecxad 9978   *Metcxmet 14515   Metcmet 14516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-rnegex 8119
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-xadd 9981  df-xmet 14523  df-met 14524
This theorem is referenced by:  metxmet  15044  metres2  15070  xmetresbl  15129  bdmet  15191
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