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Theorem ismet2 13423
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )

Proof of Theorem ismet2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metrel 13411 . . 3  |-  Rel  Met
2 relelfvdm 5539 . . . 4  |-  ( ( Rel  Met  /\  D  e.  ( Met `  X
) )  ->  X  e.  dom  Met )
32elexd 2748 . . 3  |-  ( ( Rel  Met  /\  D  e.  ( Met `  X
) )  ->  X  e.  _V )
41, 3mpan 424 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
5 xmetrel 13412 . . . . 5  |-  Rel  *Met
6 relelfvdm 5539 . . . . 5  |-  ( ( Rel  *Met  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
75, 6mpan 424 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
87elexd 2748 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  _V )
98adantr 276 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  X  e.  _V )
10 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
12 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  x  e.  X )
1310, 11, 12fovcdmd 6009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D x )  e.  RR )
14 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  y  e.  X )
1510, 11, 14fovcdmd 6009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D y )  e.  RR )
1613, 15rexaddd 9823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1716breq2d 4010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) )  <-> 
( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1817ralbidva 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1918anbi2d 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <-> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
20192ralbidva 2497 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
21 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
22 ressxr 7975 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
23 fss 5369 . . . . . . . 8  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  RR  C_  RR* )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2421, 22, 23sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) -->
RR* )
2524biantrurd 305 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2620, 25bitr3d 190 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2726pm5.32da 452 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) ) )
28 ancom 266 . . . 4  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2927, 28bitrdi 196 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) ) )
30 ismet 13413 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
31 isxmet 13414 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3231anbi1d 465 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) ) )
3329, 30, 323bitr4d 220 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) ) )
344, 9, 33pm5.21nii 704 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735    C_ wss 3127   class class class wbr 3998    X. cxp 4618   dom cdm 4620   Rel wrel 4625   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786    + caddc 7789   RR*cxr 7965    <_ cle 7967   +ecxad 9739   *Metcxmet 13049   Metcmet 13050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883  ax-rnegex 7895
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-xadd 9742  df-xmet 13057  df-met 13058
This theorem is referenced by:  metxmet  13424  metres2  13450  xmetresbl  13509  bdmet  13571
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