Theorem xmetrel 14930

Description: The class of extended metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xmetrel	|- Rel *Met

Proof of Theorem xmetrel

Dummy variables e d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4824	. 2 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2		df-xmet 14421	. . 3 |- *Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4776	. 2 |- ( Rel *Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel *Met

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   Rel wrel 4698  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758   0cc0 7960   RR*cxr 8141   <_ cle 8143   +ecxad 9927   *Metcxmet 14413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-xp 4699  df-rel 4700  df-xmet 14421

This theorem is referenced by:  ismet2  14941  xmeteq0  14946  xmettri2  14948  xmetpsmet  14956  xmetres2  14966  blex  14974  blval  14976  blf  14997  mopnval  15029  comet  15086