Theorem xmetrel 13928

Description: The class of extended metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xmetrel	|- Rel *Met

Proof of Theorem xmetrel

Dummy variables e d x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4757	. 2 |- Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2		df-xmet 13533	. . 3 |- *Met = ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
3	2	releqi 4711	. 2 |- ( Rel *Met <-> Rel ( e e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( e X. e ) ) | A. x e. e A. y e. e ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. e ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- Rel *Met

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2739   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   Rel wrel 4633  (class class class)co 5877   ^m cmap 6650   0cc0 7813   RR*cxr 7993   <_ cle 7995   +ecxad 9772   *Metcxmet 13525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-xp 4634  df-rel 4635  df-xmet 13533

This theorem is referenced by:  ismet2  13939  xmeteq0  13944  xmettri2  13946  xmetpsmet  13954  xmetres2  13964  blex  13972  blval  13974  blf  13995  mopnval  14027  comet  14084