ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetrel Unicode version

Theorem xmetrel 12439
Description: The class of extended metrics is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xmetrel  |-  Rel  *Met

Proof of Theorem xmetrel
Dummy variables  e  d  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptrel 4637 . 2  |-  Rel  (
e  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  ( e  X.  e
) )  |  A. x  e.  e  A. y  e.  e  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  e  ( x d y )  <_  (
( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2 df-xmet 12084 . . 3  |-  *Met  =  ( e  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
e  X.  e ) )  |  A. x  e.  e  A. y  e.  e  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  e  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
32releqi 4592 . 2  |-  ( Rel 
*Met  <->  Rel  ( e  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
e  X.  e ) )  |  A. x  e.  e  A. y  e.  e  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  e  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
41, 3mpbir 145 1  |-  Rel  *Met
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   A.wral 2393   {crab 2397   _Vcvv 2660   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959    X. cxp 4507   Rel wrel 4514  (class class class)co 5742    ^m cmap 6510   0cc0 7588   RR*cxr 7767    <_ cle 7769   +ecxad 9525   *Metcxmet 12076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-xp 4515  df-rel 4516  df-xmet 12084
This theorem is referenced by:  ismet2  12450  xmeteq0  12455  xmettri2  12457  xmetpsmet  12465  xmetres2  12475  blex  12483  blval  12485  blf  12506  mopnval  12538  comet  12595
  Copyright terms: Public domain W3C validator