Theorem nn0ssre 9301

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	|- NN0 C_ RR

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9298	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnssre 9042	. . 3 |- NN C_ RR
3		0re 8074	. . . 4 |- 0 e. RR
4		snssi 3777	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- { 0 } C_ RR
6	2, 5	unssi 3348	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) C_ RR
7	1, 6	eqsstri 3225	1 |- NN0 C_ RR

Syntax hints:   e. wcel 2176   u. cun 3164   C_ wss 3166   {csn 3633   RRcr 7926   0cc0 7927   NNcn 9038   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024  ax-rnegex 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-int 3886  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9302  nn0re  9306  nn0rei  9308  nn0red  9351