Theorem nn0ssre 9183

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	|- NN0 C_ RR

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9180	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnssre 8926	. . 3 |- NN C_ RR
3		0re 7960	. . . 4 |- 0 e. RR
4		snssi 3738	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- { 0 } C_ RR
6	2, 5	unssi 3312	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) C_ RR
7	1, 6	eqsstri 3189	1 |- NN0 C_ RR

Syntax hints:   e. wcel 2148   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594   RRcr 7813   0cc0 7814   NNcn 8922   NN0cn0 9179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911  ax-rnegex 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-int 3847  df-inn 8923  df-n0 9180

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9184  nn0re  9188  nn0rei  9190  nn0red  9233