Theorem nn0ssre 9546

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	|- NN0 C_ RR

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9543	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnssre 9287	. . 3 |- NN C_ RR
3		0re 8316	. . . 4 |- 0 e. RR
4		snssi 3854	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- { 0 } C_ RR
6	2, 5	unssi 3404	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) C_ RR
7	1, 6	eqsstri 3280	1 |- NN0 C_ RR

Syntax hints:   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   RRcr 8168   0cc0 8169   NNcn 9283   NN0cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-rnegex 8278

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-int 3966  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9547  nn0re  9551  nn0rei  9553  nn0red  9600