Theorem nn0ssre 9099

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	|- NN0 C_ RR

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9096	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnssre 8842	. . 3 |- NN C_ RR
3		0re 7880	. . . 4 |- 0 e. RR
4		snssi 3702	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- { 0 } C_ RR
6	2, 5	unssi 3283	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) C_ RR
7	1, 6	eqsstri 3160	1 |- NN0 C_ RR

Syntax hints:   e. wcel 2128   u. cun 3100   C_ wss 3102   {csn 3561   RRcr 7733   0cc0 7734   NNcn 8838   NN0cn0 9095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1re 7828  ax-addrcl 7831  ax-rnegex 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3567  df-int 3810  df-inn 8839  df-n0 9096

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9100  nn0re  9104  nn0rei  9106  nn0red  9149