Theorem nn0ssre 8738

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	|- NN0 C_ RR

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8735	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnssre 8487	. . 3 |- NN C_ RR
3		0re 7549	. . . 4 |- 0 e. RR
4		snssi 3587	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- { 0 } C_ RR
6	2, 5	unssi 3176	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) C_ RR
7	1, 6	eqsstri 3057	1 |- NN0 C_ RR

Syntax hints:   e. wcel 1439   u. cun 2998   C_ wss 3000   {csn 3450   RRcr 7410   0cc0 7411   NNcn 8483   NN0cn0 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1re 7500  ax-addrcl 7503  ax-rnegex 7515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-sn 3456  df-int 3695  df-inn 8484  df-n0 8735

This theorem is referenced by:  nn0sscn  8739  nn0re  8743  nn0rei  8745  nn0red  8788