Theorem nn0ssre 8974

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	|- NN0 C_ RR

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8971	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnssre 8717	. . 3 |- NN C_ RR
3		0re 7759	. . . 4 |- 0 e. RR
4		snssi 3659	. . . 4 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- { 0 } C_ RR
6	2, 5	unssi 3246	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) C_ RR
7	1, 6	eqsstri 3124	1 |- NN0 C_ RR

Syntax hints:   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   {csn 3522   RRcr 7612   0cc0 7613   NNcn 8713   NN0cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-rnegex 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-int 3767  df-inn 8714  df-n0 8971

This theorem is referenced by:  nn0sscn  8975  nn0re  8979  nn0rei  8981  nn0red  9024