Theorem nn0ssre 9298

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9295	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 9039	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 8071	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3776	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3347	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3224	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2175   ∪ cun 3163   ⊆ wss 3165  {csn 3632  ℝcr 7923  0cc0 7924  ℕcn 9035  ℕ₀cn0 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021  ax-rnegex 8033

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-int 3885  df-inn 9036  df-n0 9295

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9299  nn0re  9303  nn0rei  9305  nn0red  9348