Theorem nn0ssre 9244

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9241	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 8986	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 8019	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3762	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3334	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3211	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153  {csn 3618  ℝcr 7871  0cc0 7872  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-rnegex 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-int 3871  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9245  nn0re  9249  nn0rei  9251  nn0red  9294