Theorem nn0ssre 9319

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9316	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 9060	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 8092	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3783	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3352	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3229	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2177   ∪ cun 3168   ⊆ wss 3170  {csn 3638  ℝcr 7944  0cc0 7945  ℕcn 9056  ℕ₀cn0 9315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042  ax-rnegex 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3644  df-int 3892  df-inn 9057  df-n0 9316

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9320  nn0re  9324  nn0rei  9326  nn0red  9369