Theorem nn0ssre 9118

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9115	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 8861	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 7899	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3717	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3297	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3174	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2136   ∪ cun 3114   ⊆ wss 3116  {csn 3576  ℝcr 7752  0cc0 7753  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-rnegex 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-int 3825  df-inn 8858  df-n0 9115

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9119  nn0re  9123  nn0rei  9125  nn0red  9168