Theorem nn0ssre 9005

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9002	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 8748	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 7790	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3672	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3256	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3134	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074   ⊆ wss 3076  {csn 3532  ℝcr 7643  0cc0 7644  ℕcn 8744  ℕ₀cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-rnegex 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-int 3780  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  nn0sscn  9006  nn0re  9010  nn0rei  9012  nn0red  9055