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Theorem posng 4579
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
posng  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )

Proof of Theorem posng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4186 . 2  |-  ( R  Po  { A }  <->  A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) ) )
2 breq2 3901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
y R x  <->  y R A ) )
32anbi2d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R x )  <->  ( z R y  /\  y R A ) ) )
4 breq2 3901 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
z R x  <->  z R A ) )
53, 4imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x )  <->  ( (
z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) ) )
65anbi2d 457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  -> 
z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
76ralsng 3532 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
87ralbidv 2412 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
9 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R y )
10 breq2 3901 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z R y  <->  z R A ) )
119, 10syl5ib 153 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )
1211biantrud 300 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
1312bicomd 140 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) )  <->  -.  z R
z ) )
1413ralsng 3532 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )  <->  -.  z R z ) )
158, 14bitrd 187 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  z R z ) )
1615ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. z  e.  { A }  -.  z R z ) )
17 breq12 3902 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( z R z  <-> 
A R A ) )
1817anidms 392 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z R z  <->  A R A ) )
1918notbid 639 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2019ralsng 3532 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A }  -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2116, 20bitrd 187 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
2221adantl 273 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
231, 22syl5bb 191 1  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   _Vcvv 2658   {csn 3495   class class class wbr 3897    Po wpo 4184   Rel wrel 4512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-po 4186
This theorem is referenced by:  sosng  4580
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