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Theorem posng 4498
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
posng  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )

Proof of Theorem posng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4114 . 2  |-  ( R  Po  { A }  <->  A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) ) )
2 breq2 3841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
y R x  <->  y R A ) )
32anbi2d 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R x )  <->  ( z R y  /\  y R A ) ) )
4 breq2 3841 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
z R x  <->  z R A ) )
53, 4imbi12d 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x )  <->  ( (
z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) ) )
65anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  -> 
z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
76ralsng 3478 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
87ralbidv 2380 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
9 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R y )
10 breq2 3841 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z R y  <->  z R A ) )
119, 10syl5ib 152 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )
1211biantrud 298 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
1312bicomd 139 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) )  <->  -.  z R
z ) )
1413ralsng 3478 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )  <->  -.  z R z ) )
158, 14bitrd 186 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  z R z ) )
1615ralbidv 2380 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. z  e.  { A }  -.  z R z ) )
17 breq12 3842 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( z R z  <-> 
A R A ) )
1817anidms 389 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z R z  <->  A R A ) )
1918notbid 627 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2019ralsng 3478 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A }  -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2116, 20bitrd 186 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
2221adantl 271 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
231, 22syl5bb 190 1  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   {csn 3441   class class class wbr 3837    Po wpo 4112   Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-po 4114
This theorem is referenced by:  sosng  4499
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