Theorem posng 4683

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	|- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Proof of Theorem posng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4281	. 2 |- ( R Po { A } <-> A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) )
2		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( y R x <-> y R A ) )
3	2	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( z R y /\ y R x ) <-> ( z R y /\ y R A ) ) )
4		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( z R x <-> z R A ) )
5	3, 4	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) <-> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) )
6	5	anbi2d 461	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
7	6	ralsng 3623	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
8	7	ralbidv 2470	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
9		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z R y /\ y R A ) -> z R y )
10		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( z R y <-> z R A ) )
11	9, 10	syl5ib 153	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) )
12	11	biantrud 302	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. z R z <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
13	12	bicomd 140	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
14	13	ralsng 3623	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
15	8, 14	bitrd 187	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. z R z ) )
16	15	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. z e. { A } -. z R z ) )
17		breq12 3994	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ z = A ) -> ( z R z <-> A R A ) )
18	17	anidms 395	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z R z <-> A R A ) )
19	18	notbid 662	. . . . 5 |- ( z = A -> ( -. z R z <-> -. A R A ) )
20	19	ralsng 3623	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } -. z R z <-> -. A R A ) )
21	16, 20	bitrd 187	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
22	21	adantl 275	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
23	1, 22	syl5bb 191	1 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   {csn 3583   class class class wbr 3989   Po wpo 4279   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-po 4281

This theorem is referenced by:  sosng  4684