Theorem posng 4790

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	|- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Proof of Theorem posng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4386	. 2 |- ( R Po { A } <-> A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) )
2		breq2 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( y R x <-> y R A ) )
3	2	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( z R y /\ y R x ) <-> ( z R y /\ y R A ) ) )
4		breq2 4086	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( z R x <-> z R A ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) <-> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) )
6	5	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
7	6	ralsng 3706	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
8	7	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
9		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z R y /\ y R A ) -> z R y )
10		breq2 4086	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( z R y <-> z R A ) )
11	9, 10	imbitrid 154	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) )
12	11	biantrud 304	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. z R z <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
14	13	ralsng 3706	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
15	8, 14	bitrd 188	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. z R z ) )
16	15	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. z e. { A } -. z R z ) )
17		breq12 4087	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ z = A ) -> ( z R z <-> A R A ) )
18	17	anidms 397	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z R z <-> A R A ) )
19	18	notbid 671	. . . . 5 |- ( z = A -> ( -. z R z <-> -. A R A ) )
20	19	ralsng 3706	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } -. z R z <-> -. A R A ) )
21	16, 20	bitrd 188	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
22	21	adantl 277	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
23	1, 22	bitrid 192	1 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   {csn 3666   class class class wbr 4082   Po wpo 4384   Rel wrel 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-po 4386

This theorem is referenced by:  sosng  4791