Theorem posng 4700

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	|- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Proof of Theorem posng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4298	. 2 |- ( R Po { A } <-> A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) )
2		breq2 4009	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( y R x <-> y R A ) )
3	2	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( z R y /\ y R x ) <-> ( z R y /\ y R A ) ) )
4		breq2 4009	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( z R x <-> z R A ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) <-> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) )
6	5	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
7	6	ralsng 3634	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
8	7	ralbidv 2477	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
9		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z R y /\ y R A ) -> z R y )
10		breq2 4009	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( z R y <-> z R A ) )
11	9, 10	imbitrid 154	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) )
12	11	biantrud 304	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. z R z <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
14	13	ralsng 3634	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
15	8, 14	bitrd 188	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. z R z ) )
16	15	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. z e. { A } -. z R z ) )
17		breq12 4010	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ z = A ) -> ( z R z <-> A R A ) )
18	17	anidms 397	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z R z <-> A R A ) )
19	18	notbid 667	. . . . 5 |- ( z = A -> ( -. z R z <-> -. A R A ) )
20	19	ralsng 3634	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } -. z R z <-> -. A R A ) )
21	16, 20	bitrd 188	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
22	21	adantl 277	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
23	1, 22	bitrid 192	1 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   {csn 3594   class class class wbr 4005   Po wpo 4296   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-po 4298

This theorem is referenced by:  sosng  4701