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Theorem posng 4683
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
posng  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )

Proof of Theorem posng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4281 . 2  |-  ( R  Po  { A }  <->  A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) ) )
2 breq2 3993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
y R x  <->  y R A ) )
32anbi2d 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R x )  <->  ( z R y  /\  y R A ) ) )
4 breq2 3993 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
z R x  <->  z R A ) )
53, 4imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x )  <->  ( (
z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) ) )
65anbi2d 461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  -> 
z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
76ralsng 3623 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
87ralbidv 2470 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
9 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R y )
10 breq2 3993 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z R y  <->  z R A ) )
119, 10syl5ib 153 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )
1211biantrud 302 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
1312bicomd 140 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) )  <->  -.  z R
z ) )
1413ralsng 3623 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )  <->  -.  z R z ) )
158, 14bitrd 187 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  z R z ) )
1615ralbidv 2470 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. z  e.  { A }  -.  z R z ) )
17 breq12 3994 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( z R z  <-> 
A R A ) )
1817anidms 395 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z R z  <->  A R A ) )
1918notbid 662 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2019ralsng 3623 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A }  -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2116, 20bitrd 187 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
2221adantl 275 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
231, 22syl5bb 191 1  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   {csn 3583   class class class wbr 3989    Po wpo 4279   Rel wrel 4616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-po 4281
This theorem is referenced by:  sosng  4684
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