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Theorem posng 4471
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
posng  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )

Proof of Theorem posng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4090 . 2  |-  ( R  Po  { A }  <->  A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) ) )
2 breq2 3818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
y R x  <->  y R A ) )
32anbi2d 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R x )  <->  ( z R y  /\  y R A ) ) )
4 breq2 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
z R x  <->  z R A ) )
53, 4imbi12d 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x )  <->  ( (
z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) ) )
65anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  -> 
z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
76ralsng 3460 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
87ralbidv 2376 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
9 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R y )
10 breq2 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z R y  <->  z R A ) )
119, 10syl5ib 152 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )
1211biantrud 298 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) ) ) )
1312bicomd 139 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R A )  -> 
z R A ) )  <->  -.  z R
z ) )
1413ralsng 3460 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R A )  ->  z R A ) )  <->  -.  z R z ) )
158, 14bitrd 186 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. x  e.  { A }  ( -.  z R z  /\  (
( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  z R z ) )
1615ralbidv 2376 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  A. z  e.  { A }  -.  z R z ) )
17 breq12 3819 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( z R z  <-> 
A R A ) )
1817anidms 389 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
z R z  <->  A R A ) )
1918notbid 625 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2019ralsng 3460 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A }  -.  z R z  <->  -.  A R A ) )
2116, 20bitrd 186 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
2221adantl 271 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. z  e.  { A } A. y  e.  { A } A. x  e. 
{ A }  ( -.  z R z  /\  ( ( z R y  /\  y R x )  ->  z R x ) )  <->  -.  A R A ) )
231, 22syl5bb 190 1  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   _Vcvv 2614   {csn 3425   class class class wbr 3814    Po wpo 4088   Rel wrel 4409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2616  df-sbc 2829  df-un 2990  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-po 4090
This theorem is referenced by:  sosng  4472
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