Theorem posng 4471

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	|- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Proof of Theorem posng

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4090	. 2 |- ( R Po { A } <-> A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) )
2		breq2 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( y R x <-> y R A ) )
3	2	anbi2d 452	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( z R y /\ y R x ) <-> ( z R y /\ y R A ) ) )
4		breq2 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( z R x <-> z R A ) )
5	3, 4	imbi12d 232	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) <-> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) )
6	5	anbi2d 452	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
7	6	ralsng 3460	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
8	7	ralbidv 2376	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
9		simpl 107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z R y /\ y R A ) -> z R y )
10		breq2 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( z R y <-> z R A ) )
11	9, 10	syl5ib 152	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) )
12	11	biantrud 298	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. z R z <-> ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) ) )
13	12	bicomd 139	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
14	13	ralsng 3460	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R A ) -> z R A ) ) <-> -. z R z ) )
15	8, 14	bitrd 186	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. z R z ) )
16	15	ralbidv 2376	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> A. z e. { A } -. z R z ) )
17		breq12 3819	. . . . . . 7 |- ( ( z = A /\ z = A ) -> ( z R z <-> A R A ) )
18	17	anidms 389	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( z R z <-> A R A ) )
19	18	notbid 625	. . . . 5 |- ( z = A -> ( -. z R z <-> -. A R A ) )
20	19	ralsng 3460	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } -. z R z <-> -. A R A ) )
21	16, 20	bitrd 186	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
22	21	adantl 271	. 2 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( A. z e. { A } A. y e. { A } A. x e. { A } ( -. z R z /\ ( ( z R y /\ y R x ) -> z R x ) ) <-> -. A R A ) )
23	1, 22	syl5bb 190	1 |- ( ( Rel R /\ A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1287   e. wcel 1436   A.wral 2355   _Vcvv 2614   {csn 3425   class class class wbr 3814   Po wpo 4088   Rel wrel 4409

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2616  df-sbc 2829  df-un 2990  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-po 4090

This theorem is referenced by:  sosng  4472