Theorem posng 4676

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Proof of Theorem posng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4274	. 2 ⊢ (𝑅 Po {𝐴} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
2		breq2 3986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝐴))
3	2	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴)))
4		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
5	3, 4	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥) ↔ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)))
6	5	anbi2d 460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
7	6	ralsng 3616	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
8	7	ralbidv 2466	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
9		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝑦)
10		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
11	9, 10	syl5ib 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))
12	11	biantrud 302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
13	12	bicomd 140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
14	13	ralsng 3616	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
15	8, 14	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
16	15	ralbidv 2466	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧))
17		breq12 3987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
18	17	anidms 395	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
19	18	notbid 657	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
20	19	ralsng 3616	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
21	16, 20	bitrd 187	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
22	21	adantl 275	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
23	1, 22	syl5bb 191	1 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  Vcvv 2726  {csn 3576   class class class wbr 3982   Po wpo 4272  Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-po 4274

This theorem is referenced by:  sosng  4677