Theorem posng 4696

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Proof of Theorem posng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4294	. 2 ⊢ (𝑅 Po {𝐴} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
2		breq2 4005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝐴))
3	2	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴)))
4		breq2 4005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥) ↔ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)))
6	5	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
7	6	ralsng 3632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
8	7	ralbidv 2477	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
9		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝑦)
10		breq2 4005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
11	9, 10	imbitrid 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))
12	11	biantrud 304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
13	12	bicomd 141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
14	13	ralsng 3632	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
15	8, 14	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
16	15	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧))
17		breq12 4006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
18	17	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
19	18	notbid 667	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
20	19	ralsng 3632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
21	16, 20	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
22	21	adantl 277	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
23	1, 22	bitrid 192	1 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2737  {csn 3592   class class class wbr 4001   Po wpo 4292  Rel wrel 4629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4002  df-po 4294

This theorem is referenced by:  sosng  4697