Theorem pwprss 3889

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	⊢ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ⊆ 𝒫 {𝐴, 𝐵}

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpr 3690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}))
3	1	elpr 3690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ↔ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	orbi12i 771	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}) ∨ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵})))
5		ssprr 3839	. . . 4 ⊢ (((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}) ∨ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) → 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
7		elun 3348	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
8	1	elpw 3658	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
9	6, 7, 8	3imtr4i 201	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
10	9	ssriv 3231	1 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ⊆ 𝒫 {𝐴, 𝐵}

Syntax hints:   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  𝒫 cpw 3652  {csn 3669  {cpr 3670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3891  ord3ex  4280