Theorem pwprss 3832

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	⊢ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ⊆ 𝒫 {𝐴, 𝐵}

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpr 3640	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}))
3	1	elpr 3640	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ↔ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	orbi12i 765	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}) ∨ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵})))
5		ssprr 3783	. . . 4 ⊢ (((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}) ∨ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) → 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
7		elun 3301	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
8	1	elpw 3608	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
9	6, 7, 8	3imtr4i 201	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
10	9	ssriv 3184	1 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ⊆ 𝒫 {𝐴, 𝐵}

Syntax hints:   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3152   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  𝒫 cpw 3602  {csn 3619  {cpr 3620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3834  ord3ex  4220