Theorem reusv1 4505

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression C ( y ). (Contributed by NM, 16-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv1	|- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   B( y)   C( y)

Proof of Theorem reusv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2537	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ( ph -> x = C )
2	1	nfmo 2074	. . 3 |- F/ y E* x A. y e. B ( ph -> x = C )
3		rsp 2553	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( y e. B -> ( ph -> x = C ) ) )
4	3	impd 254	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( ( y e. B /\ ph ) -> x = C ) )
5	4	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
6	5	alrimiv 1897	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
7		moeq 2948	. . . . 5 |- E* x x = C
8		moim 2118	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) -> ( E* x x = C -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
9	6, 7, 8	mpisyl 1466	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
10	9	ex 115	. . 3 |- ( y e. B -> ( ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
11	2, 10	rexlimi 2616	. 2 |- ( E. y e. B ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
12		mormo 2722	. 2 |- ( E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) -> E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) )
13		reu5 2723	. . 3 |- ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> ( E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) /\ E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
14	13	rbaib 923	. 2 |- ( E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
15	11, 12, 14	3syl 17	1 |- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E*wmo 2055   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   E!wreu 2486   E*wrmo 2487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-v 2774

This theorem is referenced by: (None)