Theorem reusv1 4579

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression C ( y ). (Contributed by NM, 16-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv1	|- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   B( y)   C( y)

Proof of Theorem reusv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2573	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ( ph -> x = C )
2	1	nfmo 2100	. . 3 |- F/ y E* x A. y e. B ( ph -> x = C )
3		rsp 2589	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( y e. B -> ( ph -> x = C ) ) )
4	3	impd 254	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( ( y e. B /\ ph ) -> x = C ) )
5	4	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
6	5	alrimiv 1923	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) )
7		moeq 2992	. . . . 5 |- E* x x = C
8		moim 2145	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. B ( ph -> x = C ) -> x = C ) -> ( E* x x = C -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
9	6, 7, 8	mpisyl 1492	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
10	9	ex 115	. . 3 |- ( y e. B -> ( ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
11	2, 10	rexlimi 2653	. 2 |- ( E. y e. B ph -> E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) )
12		mormo 2761	. 2 |- ( E* x A. y e. B ( ph -> x = C ) -> E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) )
13		reu5 2762	. . 3 |- ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> ( E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) /\ E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
14	13	rbaib 929	. 2 |- ( E* x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
15	11, 12, 14	3syl 17	1 |- ( E. y e. B ph -> ( E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) <-> E. x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E*wmo 2081   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   E!wreu 2522   E*wrmo 2523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-v 2815

This theorem is referenced by: (None)