Theorem rexxfrd 4498

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by FL, 10-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexxfrd	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, C   ch, x   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   A( y)   C( y)

Proof of Theorem rexxfrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. . . . 5 |- F/ y ps
2	1	19.3 1568	. . . 4 |- ( A. y ps <-> ps )
3		ralxfrd.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
4		df-rex 2481	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. C x = A <-> E. y ( y e. C /\ x = A ) )
5		19.29 1634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) )
6		an12 561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
7	6	exbii 1619	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
8	5, 7	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
9		df-rex 2481	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
10	8, 9	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
11	4, 10	sylan2b 287	. . . . . . 7 |- ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
12		ralxfrd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
13	12	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps -> ch ) )
14	13	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x = A /\ ps ) -> ch ) )
15	14	ancomsd 269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ps /\ x = A ) -> ch ) )
16	15	reximdv 2598	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) -> E. y e. C ch ) )
17	11, 16	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
19	3, 18	mpan2d 428	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y ps -> E. y e. C ch ) )
20	2, 19	biimtrrid 153	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ps -> E. y e. C ch ) )
21	20	rexlimdva 2614	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. B ps -> E. y e. C ch ) )
22		ralxfrd.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
23	12	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
24	22, 23	rspcedv 2872	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ch -> E. x e. B ps ) )
25	24	rexlimdva 2614	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. C ch -> E. x e. B ps ) )
26	21, 25	impbid 129	1 |- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765

This theorem is referenced by:  rexxfr2d  4500  rexxfr  4503