Theorem rexxfrd 4441

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by FL, 10-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexxfrd	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, C   ch, x   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   A( y)   C( y)

Proof of Theorem rexxfrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. . . . 5 |- F/ y ps
2	1	19.3 1542	. . . 4 |- ( A. y ps <-> ps )
3		ralxfrd.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
4		df-rex 2450	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. C x = A <-> E. y ( y e. C /\ x = A ) )
5		19.29 1608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) )
6		an12 551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
7	6	exbii 1593	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
8	5, 7	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
9		df-rex 2450	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
10	8, 9	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
11	4, 10	sylan2b 285	. . . . . . 7 |- ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
12		ralxfrd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
13	12	biimpd 143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps -> ch ) )
14	13	expimpd 361	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x = A /\ ps ) -> ch ) )
15	14	ancomsd 267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ps /\ x = A ) -> ch ) )
16	15	reximdv 2567	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) -> E. y e. C ch ) )
17	11, 16	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
18	17	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
19	3, 18	mpan2d 425	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y ps -> E. y e. C ch ) )
20	2, 19	syl5bir 152	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ps -> E. y e. C ch ) )
21	20	rexlimdva 2583	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. B ps -> E. y e. C ch ) )
22		ralxfrd.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
23	12	adantlr 469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
24	22, 23	rspcedv 2834	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ch -> E. x e. B ps ) )
25	24	rexlimdva 2583	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. C ch -> E. x e. B ps ) )
26	21, 25	impbid 128	1 |- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728

This theorem is referenced by:  rexxfr2d  4443  rexxfr  4446