Theorem rexxfrd 4313

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by FL, 10-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexxfrd	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, C   ch, x   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   A( y)   C( y)

Proof of Theorem rexxfrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1473	. . . . 5 |- F/ y ps
2	1	19.3 1498	. . . 4 |- ( A. y ps <-> ps )
3		ralxfrd.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
4		df-rex 2376	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. C x = A <-> E. y ( y e. C /\ x = A ) )
5		19.29 1563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) )
6		an12 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
7	6	exbii 1548	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
8	5, 7	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
9		df-rex 2376	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
10	8, 9	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
11	4, 10	sylan2b 282	. . . . . . 7 |- ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
12		ralxfrd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
13	12	biimpd 143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps -> ch ) )
14	13	expimpd 356	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x = A /\ ps ) -> ch ) )
15	14	ancomsd 266	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ps /\ x = A ) -> ch ) )
16	15	reximdv 2486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) -> E. y e. C ch ) )
17	11, 16	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
18	17	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
19	3, 18	mpan2d 420	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y ps -> E. y e. C ch ) )
20	2, 19	syl5bir 152	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ps -> E. y e. C ch ) )
21	20	rexlimdva 2502	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. B ps -> E. y e. C ch ) )
22		ralxfrd.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
23	12	adantlr 462	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
24	22, 23	rspcedv 2740	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ch -> E. x e. B ps ) )
25	24	rexlimdva 2502	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. C ch -> E. x e. B ps ) )
26	21, 25	impbid 128	1 |- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1294   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   E.wrex 2371

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635

This theorem is referenced by:  rexxfr2d  4315  rexxfr  4318