Theorem rexxfrd 4494

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A. (Contributed by FL, 10-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralxfrd.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
ralxfrd.2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
ralxfrd.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexxfrd	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, C   ch, x   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   A( y)   C( y)

Proof of Theorem rexxfrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. . . . 5 |- F/ y ps
2	1	19.3 1565	. . . 4 |- ( A. y ps <-> ps )
3		ralxfrd.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
4		df-rex 2478	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. C x = A <-> E. y ( y e. C /\ x = A ) )
5		19.29 1631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) )
6		an12 561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
7	6	exbii 1616	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ps /\ ( y e. C /\ x = A ) ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
8	5, 7	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
9		df-rex 2478	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) <-> E. y ( y e. C /\ ( ps /\ x = A ) ) )
10	8, 9	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ps /\ E. y ( y e. C /\ x = A ) ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
11	4, 10	sylan2b 287	. . . . . . 7 |- ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ( ps /\ x = A ) )
12		ralxfrd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
13	12	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps -> ch ) )
14	13	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x = A /\ ps ) -> ch ) )
15	14	ancomsd 269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ps /\ x = A ) -> ch ) )
16	15	reximdv 2595	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. C ( ps /\ x = A ) -> E. y e. C ch ) )
17	11, 16	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
18	17	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( A. y ps /\ E. y e. C x = A ) -> E. y e. C ch ) )
19	3, 18	mpan2d 428	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( A. y ps -> E. y e. C ch ) )
20	2, 19	biimtrrid 153	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ps -> E. y e. C ch ) )
21	20	rexlimdva 2611	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. B ps -> E. y e. C ch ) )
22		ralxfrd.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
23	12	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
24	22, 23	rspcedv 2868	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ch -> E. x e. B ps ) )
25	24	rexlimdva 2611	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. C ch -> E. x e. B ps ) )
26	21, 25	impbid 129	1 |- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762

This theorem is referenced by:  rexxfr2d  4496  rexxfr  4499