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Theorem rexxfrd 4384
Description: Transfer universal quantification from a variable  x to another variable  y contained in expression  A. (Contributed by FL, 10-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ralxfrd.1  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  A  e.  B )
ralxfrd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  C  x  =  A )
ralxfrd.3  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
rexxfrd  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  B  ps  <->  E. y  e.  C  ch )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, C    ch, x    ph, x, y    ps, y
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    A( y)    C( y)

Proof of Theorem rexxfrd
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . . . 5  |-  F/ y ps
2119.3 1533 . . . 4  |-  ( A. y ps  <->  ps )
3 ralxfrd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  C  x  =  A )
4 df-rex 2422 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  C  x  =  A  <->  E. y
( y  e.  C  /\  x  =  A
) )
5 19.29 1599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y ps  /\  E. y ( y  e.  C  /\  x  =  A ) )  ->  E. y ( ps  /\  ( y  e.  C  /\  x  =  A
) ) )
6 an12 550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  /\  ( y  e.  C  /\  x  =  A ) )  <->  ( y  e.  C  /\  ( ps  /\  x  =  A ) ) )
76exbii 1584 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ps  /\  ( y  e.  C  /\  x  =  A
) )  <->  E. y
( y  e.  C  /\  ( ps  /\  x  =  A ) ) )
85, 7sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y ps  /\  E. y ( y  e.  C  /\  x  =  A ) )  ->  E. y ( y  e.  C  /\  ( ps 
/\  x  =  A ) ) )
9 df-rex 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  C  ( ps  /\  x  =  A )  <->  E. y
( y  e.  C  /\  ( ps  /\  x  =  A ) ) )
108, 9sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y ps  /\  E. y ( y  e.  C  /\  x  =  A ) )  ->  E. y  e.  C  ( ps  /\  x  =  A ) )
114, 10sylan2b 285 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y ps  /\  E. y  e.  C  x  =  A )  ->  E. y  e.  C  ( ps  /\  x  =  A ) )
12 ralxfrd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
1312biimpd 143 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  ( ps  ->  ch ) )
1413expimpd 360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  =  A  /\  ps )  ->  ch ) )
1514ancomsd 267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ps  /\  x  =  A )  ->  ch ) )
1615reximdv 2533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  C  ( ps  /\  x  =  A )  ->  E. y  e.  C  ch ) )
1711, 16syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A. y ps  /\  E. y  e.  C  x  =  A )  ->  E. y  e.  C  ch )
)
1817adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( A. y ps 
/\  E. y  e.  C  x  =  A )  ->  E. y  e.  C  ch ) )
193, 18mpan2d 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y ps  ->  E. y  e.  C  ch )
)
202, 19syl5bir 152 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( ps  ->  E. y  e.  C  ch ) )
2120rexlimdva 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  B  ps  ->  E. y  e.  C  ch )
)
22 ralxfrd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  A  e.  B )
2312adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  C )  /\  x  =  A )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2422, 23rspcedv 2793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  ( ch  ->  E. x  e.  B  ps ) )
2524rexlimdva 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  C  ch  ->  E. x  e.  B  ps )
)
2621, 25impbid 128 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  B  ps  <->  E. y  e.  C  ch )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E.wrex 2417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688
This theorem is referenced by:  rexxfr2d  4386  rexxfr  4389
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