Theorem rnoprab2 6028

Description: The range of a restricted operation class abstraction. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2012.)

Assertion

Ref	Expression
rnoprab2	|- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x e. A E. y e. B ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem rnoprab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnoprab 6027	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		r2ex 2525	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
3	2	abbii 2320	. 2 |- { z | E. x e. A E. y e. B ph } = { z | E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
4	1, 3	eqtr4i 2228	1 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x e. A E. y e. B ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   {cab 2190   E.wrex 2484   ran crn 4675   {coprab 5944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-cnv 4682  df-dm 4684  df-rn 4685  df-oprab 5947

This theorem is referenced by:  rnmpo  6055