Theorem rnoprab2 6002

Description: The range of a restricted operation class abstraction. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2012.)

Assertion

Ref	Expression
rnoprab2	|- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x e. A E. y e. B ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem rnoprab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnoprab 6001	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		r2ex 2514	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
3	2	abbii 2309	. 2 |- { z | E. x e. A E. y e. B ph } = { z | E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
4	1, 3	eqtr4i 2217	1 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x e. A E. y e. B ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   ran crn 4660   {coprab 5919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-oprab 5922

This theorem is referenced by:  rnmpo  6029