Theorem rnoprab2 6042

Description: The range of a restricted operation class abstraction. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2012.)

Assertion

Ref	Expression
rnoprab2	|- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x e. A E. y e. B ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem rnoprab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnoprab 6041	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		r2ex 2527	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
3	2	abbii 2322	. 2 |- { z | E. x e. A E. y e. B ph } = { z | E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
4	1, 3	eqtr4i 2230	1 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { z | E. x e. A E. y e. B ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   {cab 2192   E.wrex 2486   ran crn 4684   {coprab 5958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-cnv 4691  df-dm 4693  df-rn 4694  df-oprab 5961

This theorem is referenced by:  rnmpo  6069