Theorem rnmpo 6029

Description: The range of an operation given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 20-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
rnmpo	|- ran F = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem rnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 5923	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2214	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	rneqi 4890	. 2 |- ran F = ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		rnoprab2 6002	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }
6	4, 5	eqtri 2214	1 |- ran F = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   ran crn 4660   {coprab 5919   e. cmpo 5920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-oprab 5922  df-mpo 5923

This theorem is referenced by:  elrnmpog  6031  elrnmpo  6032  ralrnmpo  6033  rexrnmpo  6034  mpoexw  6266  txuni2  14424  txbas  14426  txrest  14444