Theorem rnmpo 6079

Description: The range of an operation given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 20-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
rnmpo	|- ran F = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem rnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 5972	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2228	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	rneqi 4925	. 2 |- ran F = ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		rnoprab2 6052	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }
6	4, 5	eqtri 2228	1 |- ran F = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   E.wrex 2487   ran crn 4694   {coprab 5968   e. cmpo 5969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-oprab 5971  df-mpo 5972

This theorem is referenced by:  elrnmpog  6081  elrnmpo  6082  ralrnmpo  6083  rexrnmpo  6084  mpoexw  6322  txuni2  14843  txbas  14845  txrest  14863