Theorem rnoprab 6005

Description: The range of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by David Abernethy, 19-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rnoprab	|- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { z | E. x E. y ph }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem rnoprab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 5969	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
2	1	rneqi 4894	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = ran { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
3		rnopab 4913	. 2 |- ran { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { z | E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4		exrot3 1704	. . . 4 |- ( E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		vex 2766	. . . . . . . 8 |- x e. _V
6		vex 2766	. . . . . . . 8 |- y e. _V
7	5, 6	opex 4262	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
8	7	isseti 2771	. . . . . 6 |- E. w w = <. x , y >.
9		19.41v 1917	. . . . . 6 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. w w = <. x , y >. /\ ph ) )
10	8, 9	mpbiran 942	. . . . 5 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
11	10	2exbii 1620	. . . 4 |- ( E. x E. y E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
12	4, 11	bitri 184	. . 3 |- ( E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
13	12	abbii 2312	. 2 |- { z | E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { z | E. x E. y ph }
14	2, 3, 13	3eqtri 2221	1 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { z | E. x E. y ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   {cab 2182   <.cop 3625   {copab 4093   ran crn 4664   {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-oprab 5926

This theorem is referenced by:  rnoprab2  6006