Theorem rnoprab 5936

Description: The range of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by David Abernethy, 19-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rnoprab	|- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { z | E. x E. y ph }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem rnoprab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 5900	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
2	1	rneqi 4839	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = ran { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
3		rnopab 4858	. 2 |- ran { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { z | E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4		exrot3 1683	. . . 4 |- ( E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		vex 2733	. . . . . . . 8 |- x e. _V
6		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
7	5, 6	opex 4214	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
8	7	isseti 2738	. . . . . 6 |- E. w w = <. x , y >.
9		19.41v 1895	. . . . . 6 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. w w = <. x , y >. /\ ph ) )
10	8, 9	mpbiran 935	. . . . 5 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
11	10	2exbii 1599	. . . 4 |- ( E. x E. y E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
12	4, 11	bitri 183	. . 3 |- ( E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
13	12	abbii 2286	. 2 |- { z | E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { z | E. x E. y ph }
14	2, 3, 13	3eqtri 2195	1 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { z | E. x E. y ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   {cab 2156   <.cop 3586   {copab 4049   ran crn 4612   {coprab 5854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-oprab 5857

This theorem is referenced by:  rnoprab2  5937