Theorem rnoprab 5862

Description: The range of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 30-Aug-2004.) (Revised by David Abernethy, 19-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rnoprab	|- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { z | E. x E. y ph }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem rnoprab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 5826	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
2	1	rneqi 4775	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = ran { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
3		rnopab 4794	. 2 |- ran { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { z | E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4		exrot3 1669	. . . 4 |- ( E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		vex 2692	. . . . . . . 8 |- x e. _V
6		vex 2692	. . . . . . . 8 |- y e. _V
7	5, 6	opex 4159	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
8	7	isseti 2697	. . . . . 6 |- E. w w = <. x , y >.
9		19.41v 1875	. . . . . 6 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. w w = <. x , y >. /\ ph ) )
10	8, 9	mpbiran 925	. . . . 5 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
11	10	2exbii 1586	. . . 4 |- ( E. x E. y E. w ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
12	4, 11	bitri 183	. . 3 |- ( E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
13	12	abbii 2256	. 2 |- { z | E. w E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { z | E. x E. y ph }
14	2, 3, 13	3eqtri 2165	1 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { z | E. x E. y ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   {cab 2126   <.cop 3535   {copab 3996   ran crn 4548   {coprab 5783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-oprab 5786

This theorem is referenced by:  rnoprab2  5863