ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2oprc Unicode version

Theorem snnen2oprc 6574
Description: A singleton  { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If  A is a set, see snnen2og 6573. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2oprc  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
{ A }  ~~  2o )

Proof of Theorem snnen2oprc
StepHypRef Expression
1 2on0 6191 . . 3  |-  2o  =/=  (/)
2 ensymb 6495 . . . 4  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  ~~  (/) )
3 en0 6510 . . . 4  |-  ( 2o 
~~  (/)  <->  2o  =  (/) )
42, 3bitri 182 . . 3  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  =  (/) )
51, 4nemtbir 2344 . 2  |-  -.  (/)  ~~  2o
6 snprc 3507 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
76biimpi 118 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
87breq1d 3855 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( { A }  ~~  2o 
<->  (/)  ~~  2o ) )
95, 8mtbiri 635 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
{ A }  ~~  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   (/)c0 3286   {csn 3446   class class class wbr 3845   2oc2o 6175    ~~ cen 6453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-1o 6181  df-2o 6182  df-er 6290  df-en 6456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator