Theorem snnen2oprc 6921

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 6920. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6484	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6839	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6854	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2456	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3687	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 4043	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 676	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   {csn 3622   class class class wbr 4033   2oc2o 6468   ~~ cen 6797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800

This theorem is referenced by: (None)