ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2oprc Unicode version

Theorem snnen2oprc 6720
Description: A singleton  { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If  A is a set, see snnen2og 6719. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2oprc  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
{ A }  ~~  2o )

Proof of Theorem snnen2oprc
StepHypRef Expression
1 2on0 6289 . . 3  |-  2o  =/=  (/)
2 ensymb 6640 . . . 4  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  ~~  (/) )
3 en0 6655 . . . 4  |-  ( 2o 
~~  (/)  <->  2o  =  (/) )
42, 3bitri 183 . . 3  |-  ( (/)  ~~  2o  <->  2o  =  (/) )
51, 4nemtbir 2372 . 2  |-  -.  (/)  ~~  2o
6 snprc 3556 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
76biimpi 119 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  =  (/) )
87breq1d 3907 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( { A }  ~~  2o 
<->  (/)  ~~  2o ) )
95, 8mtbiri 647 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
{ A }  ~~  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   (/)c0 3331   {csn 3495   class class class wbr 3897   2oc2o 6273    ~~ cen 6598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator