Theorem snnen2oprc 6907

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 6906. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6470	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6825	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6840	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2453	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3683	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 4039	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 676	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029   2oc2o 6454   ~~ cen 6783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-suc 4400  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-1o 6460  df-2o 6461  df-er 6578  df-en 6786

This theorem is referenced by: (None)