Theorem snnen2oprc 6747

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 6746. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6316	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6667	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6682	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 183	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2395	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3583	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 119	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 3934	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 664	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   (/)c0 3358   {csn 3522   class class class wbr 3924   2oc2o 6300   ~~ cen 6625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-1o 6306  df-2o 6307  df-er 6422  df-en 6628

This theorem is referenced by: (None)