Theorem snnen2oprc 6826

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 6825. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6394	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6746	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6761	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 183	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2425	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3641	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 119	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 3992	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 665	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982   2oc2o 6378   ~~ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707

This theorem is referenced by: (None)