Theorem snnen2oprc 7021

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 7020. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6572	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6932	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6947	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2489	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3731	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 4093	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 679	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   {csn 3666   class class class wbr 4083   2oc2o 6556   ~~ cen 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888

This theorem is referenced by: (None)