Theorem snnen2oprc 6857

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 6856. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6424	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6777	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6792	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2436	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3657	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 4012	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 675	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   {csn 3592   class class class wbr 4002   2oc2o 6408   ~~ cen 6735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-1o 6414  df-2o 6415  df-er 6532  df-en 6738

This theorem is referenced by: (None)