Theorem snnen2oprc 6972

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a set, see snnen2og 6971. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2oprc	|- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2oprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 6525	. . 3 |- 2o =/= (/)
2		ensymb 6885	. . . 4 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o ~~ (/) )
3		en0 6900	. . . 4 |- ( 2o ~~ (/) <-> 2o = (/) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( (/) ~~ 2o <-> 2o = (/) )
5	1, 4	nemtbir 2466	. 2 |- -. (/) ~~ 2o
6		snprc 3703	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
7	6	biimpi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { A } = (/) )
8	7	breq1d 4061	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( { A } ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o ) )
9	5, 8	mtbiri 677	1 |- ( -. A e. _V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   (/)c0 3464   {csn 3638   class class class wbr 4051   2oc2o 6509   ~~ cen 6838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-1o 6515  df-2o 6516  df-er 6633  df-en 6841

This theorem is referenced by: (None)