ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unsnfidcex Unicode version
Theorem unsnfidcex 6978
Description: The B e. V condition in unsnfi 6977. This is intended to show that unsnfi 6977 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcex |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. _V )
Proof of Theorem unsnfidcex
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6817 . . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
21biimpi 120 . . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
323ad2ant1 1020 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4 isfi 6817 . . . . . . 7 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
54biimpi 120 . . . . . 6 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
653ad2ant3 1022 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
8 simprr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ n )
10 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> m = n )
119, 10breqtrrd 4058 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ m )
12 simprr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
1312ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
1413ensymd 6839 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> m ~~ ( A u. { B } ) )
15 entr 6840 . . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ m /\ m ~~ ( A u. { B } ) ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
1611, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
17 simp1 999 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> A e. Fin )
1817ad4antr 494 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A e. Fin )
19 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> B e. _V )
20 simp2 1000 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> -. B e. A )
2120ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> -. B e. A )
2219, 21eldifd 3164 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> B e. ( _V \ A ) )
23 php5fin 6940 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
2418, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
2516, 24pm2.65da 662 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> -. B e. _V )
2625orcd 734 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
278ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> A ~~ n )
2827ensymd 6839 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n ~~ A )
29 snprc 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
3029biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. B e. _V -> { B } = (/) )
3130uneq2d 3314 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. B e. _V -> ( A u. { B } ) = ( A u. (/) ) )
32 un0 3481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A u. (/) ) = A
3331, 32eqtrdi 2242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. B e. _V -> ( A u. { B } ) = A )
3433adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( A u. { B } ) = A )
3512ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
3634, 35eqbrtrrd 4054 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> A ~~ m )
37 entr 6840 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n ~~ A /\ A ~~ m ) -> n ~~ m )
3828, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n ~~ m )
39 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> n e. om )
4039ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n e. om )
41 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> m e. om )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> m e. om )
43 nneneq 6915 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( n ~~ m <-> n = m ) )
4440, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( n ~~ m <-> n = m ) )
4538, 44mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n = m )
4645eqcomd 2199 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> m = n )
47 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> -. m = n )
4846, 47pm2.65da 662 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> -. -. B e. _V )
4948olcd 735 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
50 nndceq 6554 . . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> DECID m = n )
5141, 39, 50syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> DECID m = n )
52 exmiddc 837 . . . . . 6 |- (DECID m = n -> ( m = n \/ -. m = n ) )
5351, 52syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( m = n \/ -. m = n ) )
5426, 49, 53mpjaodan 799 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
557, 54rexlimddv 2616 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
563, 55rexlimddv 2616 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
57 df-dc 836 . 2 |- (DECID -. B e. _V <-> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
5856, 57sylibr 134 1 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   \ cdif 3151   u. cun 3152   (/)c0 3447   {csn 3619   class class class wbr 4030   omcom 4623   ~~ cen 6794   Fincfn 6796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator