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Theorem unsnfidcex 7105
Description: The B e. V condition in unsnfi 7104. This is intended to show that unsnfi 7104 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfidcex |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. _V )
Proof of Theorem unsnfidcex
Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6929 . . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
21biimpi 120 . . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
323ad2ant1 1042 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4 isfi 6929 . . . . . . 7 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
54biimpi 120 . . . . . 6 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
653ad2ant3 1044 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
8 simprr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ n )
10 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> m = n )
119, 10breqtrrd 4114 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ m )
12 simprr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
1312ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
1413ensymd 6952 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> m ~~ ( A u. { B } ) )
15 entr 6953 . . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ m /\ m ~~ ( A u. { B } ) ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
1611, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
17 simp1 1021 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> A e. Fin )
1817ad4antr 494 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A e. Fin )
19 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> B e. _V )
20 simp2 1022 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> -. B e. A )
2120ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> -. B e. A )
2219, 21eldifd 3208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> B e. ( _V \ A ) )
23 php5fin 7064 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
2418, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
2516, 24pm2.65da 665 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> -. B e. _V )
2625orcd 738 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
278ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> A ~~ n )
2827ensymd 6952 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n ~~ A )
29 snprc 3732 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
3029biimpi 120 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. B e. _V -> { B } = (/) )
3130uneq2d 3359 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. B e. _V -> ( A u. { B } ) = ( A u. (/) ) )
32 un0 3526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A u. (/) ) = A
3331, 32eqtrdi 2278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. B e. _V -> ( A u. { B } ) = A )
3433adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( A u. { B } ) = A )
3512ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
3634, 35eqbrtrrd 4110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> A ~~ m )
37 entr 6953 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n ~~ A /\ A ~~ m ) -> n ~~ m )
3828, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n ~~ m )
39 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> n e. om )
4039ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n e. om )
41 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> m e. om )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> m e. om )
43 nneneq 7038 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( n ~~ m <-> n = m ) )
4440, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( n ~~ m <-> n = m ) )
4538, 44mpbid 147 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n = m )
4645eqcomd 2235 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> m = n )
47 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> -. m = n )
4846, 47pm2.65da 665 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> -. -. B e. _V )
4948olcd 739 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
50 nndceq 6662 . . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> DECID m = n )
5141, 39, 50syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> DECID m = n )
52 exmiddc 841 . . . . . 6 |- (DECID m = n -> ( m = n \/ -. m = n ) )
5351, 52syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( m = n \/ -. m = n ) )
5426, 49, 53mpjaodan 803 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
557, 54rexlimddv 2653 . . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
563, 55rexlimddv 2653 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
57 df-dc 840 . 2 |- (DECID -. B e. _V <-> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
5856, 57sylibr 134 1 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   (/)c0 3492   {csn 3667   class class class wbr 4086   omcom 4686   ~~ cen 6902   Fincfn 6904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907
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