Theorem unsnfidcex 7231

Description: The B e. V condition in unsnfi 7230. This is intended to show that unsnfi 7230 without that condition would not be provable but it probably would need to be strengthened (for example, to imply included middle) to fully show that. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfidcex	|- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. _V )

Proof of Theorem unsnfidcex

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7051	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		isfi 7051	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin <-> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( A u. { B } ) e. Fin -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
6	5	3ad2ant3 1051	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> E. m e. om ( A u. { B } ) ~~ m )
8		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
9	8	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ n )
10		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> m = n )
11	9, 10	breqtrrd 4159	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ m )
12		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
13	12	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
14	13	ensymd 7074	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> m ~~ ( A u. { B } ) )
15		entr 7075	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ m /\ m ~~ ( A u. { B } ) ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
16	11, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A ~~ ( A u. { B } ) )
17		simp1 1028	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> A e. Fin )
18	17	ad4antr 498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> A e. Fin )
19		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> B e. _V )
20		simp2 1029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> -. B e. A )
21	20	ad4antr 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> -. B e. A )
22	19, 21	eldifd 3230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> B e. ( _V \ A ) )
23		php5fin 7190	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
24	18, 22, 23	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) /\ B e. _V ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
25	16, 24	pm2.65da 671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> -. B e. _V )
26	25	orcd 745	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ m = n ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
27	8	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> A ~~ n )
28	27	ensymd 7074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n ~~ A )
29		snprc 3774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. B e. _V <-> { B } = (/) )
30	29	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. B e. _V -> { B } = (/) )
31	30	uneq2d 3383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. B e. _V -> ( A u. { B } ) = ( A u. (/) ) )
32		un0 3556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A u. (/) ) = A
33	31, 32	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. B e. _V -> ( A u. { B } ) = A )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( A u. { B } ) = A )
35	12	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( A u. { B } ) ~~ m )
36	34, 35	eqbrtrrd 4155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> A ~~ m )
37		entr 7075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n ~~ A /\ A ~~ m ) -> n ~~ m )
38	28, 36, 37	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n ~~ m )
39		simplrl 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> n e. om )
40	39	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n e. om )
41		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> m e. om )
42	41	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> m e. om )
43		nneneq 7162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ m e. om ) -> ( n ~~ m <-> n = m ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> ( n ~~ m <-> n = m ) )
45	38, 44	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> n = m )
46	45	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> m = n )
47		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) /\ -. B e. _V ) -> -. m = n )
48	46, 47	pm2.65da 671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> -. -. B e. _V )
49	48	olcd 746	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) /\ -. m = n ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
50		nndceq 6776	. . . . . . 7 |- ( ( m e. om /\ n e. om ) -> DECID m = n )
51	41, 39, 50	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> DECID m = n )
52		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID m = n -> ( m = n \/ -. m = n ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( m = n \/ -. m = n ) )
54	26, 49, 53	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) /\ ( m e. om /\ ( A u. { B } ) ~~ m ) ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
55	7, 54	rexlimddv 2673	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
56	3, 55	rexlimddv 2673	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
57		df-dc 847	. 2 |- (DECID -. B e. _V <-> ( -. B e. _V \/ -. -. B e. _V ) )
58	56, 57	sylibr 134	1 |- ( ( A e. Fin /\ -. B e. A /\ ( A u. { B } ) e. Fin ) -> DECID -. B e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4131   omcom 4739   ~~ cen 7024   Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by: (None)