ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  netap Unicode version

Theorem netap 7253
Description: Negated equality on a set with decidable equality is a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
netap  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } TAp  A
)
Distinct variable groups:    u, A, v   
x, A, y

Proof of Theorem netap
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opabssxp 4701 . . 3  |-  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  C_  ( A  X.  A
)
21a1i 9 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  C_  ( A  X.  A
) )
3 neirr 2356 . . . . . 6  |-  -.  a  =/=  a
4 df-br 4005 . . . . . . 7  |-  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } a  <->  <. a ,  a >.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } )
5 neeq1 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  a  ->  (
u  =/=  v  <->  a  =/=  v ) )
6 neeq2 2361 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  a  ->  (
a  =/=  v  <->  a  =/=  a ) )
75, 6opelopab2 4271 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  A  /\  a  e.  A )  ->  ( <. a ,  a
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  a  =/=  a ) )
87anidms 397 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  A  ->  ( <. a ,  a >.  e.  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) }  <->  a  =/=  a ) )
94, 8bitrid 192 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  (
a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a  <-> 
a  =/=  a ) )
103, 9mtbiri 675 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  -.  a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } a )
1110rgen 2530 . . . 4  |-  A. a  e.  A  -.  a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } a
1211a1i 9 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  A  -.  a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a )
13 df-br 4005 . . . . . . . 8  |-  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } b  <->  <. a ,  b >.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } )
14 neeq2 2361 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  b  ->  (
a  =/=  v  <->  a  =/=  b ) )
155, 14opelopab2 4271 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  a  =/=  b ) )
1613, 15bitrid 192 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  <-> 
a  =/=  b ) )
17 df-br 4005 . . . . . . . 8  |-  ( b { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } a  <->  <. b ,  a >.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } )
18 neeq1 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  b  ->  (
u  =/=  v  <->  b  =/=  v ) )
19 neeq2 2361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  a  ->  (
b  =/=  v  <->  b  =/=  a ) )
2018, 19opelopab2 4271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  A  /\  a  e.  A )  ->  ( <. b ,  a
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  b  =/=  a ) )
2120ancoms 268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( <. b ,  a
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  b  =/=  a ) )
22 necom 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =/=  a  <->  a  =/=  b )
2321, 22bitrdi 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( <. b ,  a
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  a  =/=  b ) )
2417, 23bitrid 192 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a  <-> 
a  =/=  b ) )
2516, 24bitr4d 191 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  <-> 
b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a ) )
2625biimpd 144 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  ->  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a ) )
2726rgen2 2563 . . . 4  |-  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } b  -> 
b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a )
2827a1i 9 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  ->  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a ) )
2912, 28jca 306 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  ( A. a  e.  A  -.  a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } a  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  (
a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  ->  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a ) ) )
30163adant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  <-> 
a  =/=  b ) )
3130adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } b  <->  a  =/=  b ) )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  a  =  c )  -> 
a  =  c )
33 simplr 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  a  =  c )  -> 
a  =/=  b )
3432, 33eqnetrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  a  =  c )  -> 
c  =/=  b )
3534necomd 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  a  =  c )  -> 
b  =/=  c )
3635olcd 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  a  =  c )  -> 
( a  =/=  c  \/  b  =/=  c
) )
37 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  -.  a  =  c )  ->  -.  a  =  c )
3837neqned 2354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  -.  a  =  c )  ->  a  =/=  c )
3938orcd 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  /\  -.  a  =  c )  ->  ( a  =/=  c  \/  b  =/=  c
) )
40 equequ2 1713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  c  ->  (
a  =  y  <->  a  =  c ) )
4140dcbid 838 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (DECID  a  =  y  <-> DECID  a  =  c )
)
42 equequ1 1712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  y  <->  a  =  y ) )
4342dcbid 838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  a  =  y )
)
4443ralbidv 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  <->  A. y  e.  A DECID  a  =  y ) )
45 simpll 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
46 simplr1 1039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  a  e.  A )
4744, 45, 46rspcdva 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  A. y  e.  A DECID  a  =  y
)
48 simplr3 1041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  c  e.  A )
4941, 47, 48rspcdva 2847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  -> DECID  a  =  c
)
50 exmiddc 836 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  a  =  c  ->  ( a  =  c  \/  -.  a  =  c )
)
5149, 50syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  (
a  =  c  \/ 
-.  a  =  c ) )
5236, 39, 51mpjaodan 798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  (
a  =/=  c  \/  b  =/=  c ) )
53 df-br 4005 . . . . . . . . . 10  |-  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } c  <->  <. a ,  c >.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } )
54 neeq2 2361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  c  ->  (
a  =/=  v  <->  a  =/=  c ) )
555, 54opelopab2 4271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( <. a ,  c
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  a  =/=  c ) )
56553adant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( <. a ,  c
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  a  =/=  c ) )
5753, 56bitrid 192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c  <-> 
a  =/=  c ) )
58 df-br 4005 . . . . . . . . . 10  |-  ( b { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } c  <->  <. b ,  c >.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } )
59 neeq2 2361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  c  ->  (
b  =/=  v  <->  b  =/=  c ) )
6018, 59opelopab2 4271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( <. b ,  c
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  b  =/=  c ) )
61603adant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( <. b ,  c
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) }  <->  b  =/=  c ) )
6258, 61bitrid 192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c  <-> 
b  =/=  c ) )
6357, 62orbi12d 793 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  ( ( a {
<. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c )  <->  ( a  =/=  c  \/  b  =/=  c ) ) )
6463ad2antlr 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  (
( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c )  <->  ( a  =/=  c  \/  b  =/=  c ) ) )
6552, 64mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  a  =/=  b )  ->  (
a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c ) )
6665ex 115 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a  =/=  b  ->  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c ) ) )
6731, 66sylbid 150 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } b  -> 
( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c ) ) )
6867ralrimivvva 2560 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  ->  ( a {
<. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c ) ) )
6916notbid 667 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( -.  a {
<. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } b  <->  -.  a  =/=  b
) )
70 df-ne 2348 . . . . . . . 8  |-  ( a  =/=  b  <->  -.  a  =  b )
7170notbii 668 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  =/=  b  <->  -.  -.  a  =  b )
7269, 71bitrdi 196 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( -.  a {
<. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } b  <->  -.  -.  a  =  b ) )
7372adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( -.  a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } b  <->  -.  -.  a  =  b ) )
74 equequ2 1713 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
a  =  y  <->  a  =  b ) )
7574dcbid 838 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (DECID  a  =  y  <-> DECID  a  =  b )
)
76 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
77 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  a  e.  A )
7844, 76, 77rspcdva 2847 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  A. y  e.  A DECID  a  =  y
)
79 simprr 531 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b  e.  A )
8075, 78, 79rspcdva 2847 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  -> DECID  a  =  b
)
81 notnotrdc 843 . . . . . 6  |-  (DECID  a  =  b  ->  ( -.  -.  a  =  b  ->  a  =  b ) )
8280, 81syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( -.  -.  a  =  b  ->  a  =  b ) )
8373, 82sylbid 150 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( -.  a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } b  -> 
a  =  b ) )
8483ralrimivva 2559 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( -.  a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } b  ->  a  =  b ) )
8568, 84jca 306 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) } b  -> 
( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c ) )  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( -.  a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  ->  a  =  b ) ) )
86 dftap2 7250 . 2  |-  ( {
<. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } TAp  A  <->  ( { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v
) }  C_  ( A  X.  A )  /\  ( A. a  e.  A  -.  a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a {
<. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } b  ->  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } a ) )  /\  ( A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  ->  ( a {
<. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  u  =/=  v ) } c  \/  b { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } c ) )  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( -.  a { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } b  ->  a  =  b ) ) ) )
872, 29, 85, 86syl3anbrc 1181 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  u  =/=  v ) } TAp  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455    C_ wss 3130   <.cop 3596   class class class wbr 4004   {copab 4064    X. cxp 4625   TAp wtap 7248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-pap 7247  df-tap 7249
This theorem is referenced by:  2onetap  7254  exmidapne  7259
  Copyright terms: Public domain W3C validator