Theorem triun 3949

Description: The indexed union of a class of transitive sets is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
triun	|- ( A. x e. A Tr B -> Tr U_ x e. A B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem triun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3734	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
2		r19.29 2506	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A Tr B /\ E. x e. A y e. B ) -> E. x e. A ( Tr B /\ y e. B ) )
3		nfcv 2228	. . . . . . 7 |- F/_ x y
4		nfiu1 3760	. . . . . . 7 |- F/_ x U_ x e. A B
5	3, 4	nfss 3018	. . . . . 6 |- F/ x y C_ U_ x e. A B
6		trss 3945	. . . . . . . 8 |- ( Tr B -> ( y e. B -> y C_ B ) )
7	6	imp 122	. . . . . . 7 |- ( ( Tr B /\ y e. B ) -> y C_ B )
8		ssiun2 3773	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> B C_ U_ x e. A B )
9		sstr2 3032	. . . . . . . 8 |- ( y C_ B -> ( B C_ U_ x e. A B -> y C_ U_ x e. A B ) )
10	8, 9	syl5com 29	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( y C_ B -> y C_ U_ x e. A B ) )
11	7, 10	syl5 32	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( Tr B /\ y e. B ) -> y C_ U_ x e. A B ) )
12	5, 11	rexlimi 2482	. . . . 5 |- ( E. x e. A ( Tr B /\ y e. B ) -> y C_ U_ x e. A B )
13	2, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( A. x e. A Tr B /\ E. x e. A y e. B ) -> y C_ U_ x e. A B )
14	1, 13	sylan2b 281	. . 3 |- ( ( A. x e. A Tr B /\ y e. U_ x e. A B ) -> y C_ U_ x e. A B )
15	14	ralrimiva 2446	. 2 |- ( A. x e. A Tr B -> A. y e. U_ x e. A B y C_ U_ x e. A B )
16		dftr3 3940	. 2 |- ( Tr U_ x e. A B <-> A. y e. U_ x e. A B y C_ U_ x e. A B )
17	15, 16	sylibr 132	1 |- ( A. x e. A Tr B -> Tr U_ x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   C_ wss 2999   U_ciun 3730   Tr wtr 3936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-uni 3654  df-iun 3732  df-tr 3937

This theorem is referenced by:  truni  3950