Theorem undif3ss 3434

Description: A subset relationship involving class union and class difference. In classical logic, this would be equality rather than subset, as in the first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
undif3ss	|- ( A u. ( B \ C ) ) C_ ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )

Proof of Theorem undif3ss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3314	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
2		eldif 3175	. . . . 5 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
3	2	orbi2i 764	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
4		orc 714	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ x e. B ) )
5		olc 713	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
6	4, 5	jca 306	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
7		olc 713	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( x e. A \/ x e. B ) )
8		orc 714	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
10	6, 9	jaoi 718	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
11		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> x e. A )
12	11	orcd 735	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
13		olc 713	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
14		orc 714	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
16	14	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
17	12, 13, 15, 16	ccase 967	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
18	10, 17	impbii 126	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
19	1, 3, 18	3bitri 206	. . 3 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
20		elun 3314	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
21	20	biimpri 133	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. ( A u. B ) )
22		pm4.53r 753	. . . . . 6 |- ( ( -. x e. C \/ x e. A ) -> -. ( x e. C /\ -. x e. A ) )
23		eldif 3175	. . . . . 6 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
24	22, 23	sylnibr 679	. . . . 5 |- ( ( -. x e. C \/ x e. A ) -> -. x e. ( C \ A ) )
25	21, 24	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) )
26		eldif 3175	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) )
27	25, 26	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) )
28	19, 27	sylbi 121	. 2 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) -> x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) )
29	28	ssriv 3197	1 |- ( A u. ( B \ C ) ) C_ ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 710   e. wcel 2176   \ cdif 3163   u. cun 3164   C_ wss 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179

This theorem is referenced by: (None)