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Theorem undif3ss 3411
Description: A subset relationship involving class union and class difference. In classical logic, this would be equality rather than subset, as in the first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
undif3ss  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  C_  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )

Proof of Theorem undif3ss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3291 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
2 eldif 3153 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
32orbi2i 763 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
4 orc 713 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
5 olc 712 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) )
64, 5jca 306 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
7 olc 712 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  B )
)
8 orc 713 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) )
97, 8anim12i 338 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
106, 9jaoi 717 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  ->  (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
) )
11 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  x  e.  A )
1211orcd 734 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
13 olc 712 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
14 orc 713 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
1514adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
1614adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
1712, 13, 15, 16ccase 966 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)  ->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
1810, 17impbii 126 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A ) ) )
191, 3, 183bitri 206 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
) ) )
20 elun 3291 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
2120biimpri 133 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  x  e.  ( A  u.  B ) )
22 pm4.53r 752 . . . . . 6  |-  ( ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
)  ->  -.  (
x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
) )
23 eldif 3153 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
2422, 23sylnibr 678 . . . . 5  |-  ( ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A
)  ->  -.  x  e.  ( C  \  A
) )
2521, 24anim12i 338 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)  ->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  ( C  \  A
) ) )
26 eldif 3153 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \ 
( C  \  A
) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  ( C  \  A
) ) )
2725, 26sylibr 134 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( -.  x  e.  C  \/  x  e.  A )
)  ->  x  e.  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) ) )
2819, 27sylbi 121 . 2  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  ->  x  e.  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) ) )
2928ssriv 3174 1  |-  ( A  u.  ( B  \  C ) )  C_  ( ( A  u.  B )  \  ( C  \  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    \/ wo 709    e. wcel 2160    \ cdif 3141    u. cun 3142    C_ wss 3144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157
This theorem is referenced by: (None)
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