Theorem unisucg 4331

Description: A transitive class is equal to the union of its successor. Combines Theorem 4E of [Enderton] p. 72 and Exercise 6 of [Enderton] p. 73. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
unisucg	|- ( A e. V -> ( Tr A <-> U. suc A = A ) )

Proof of Theorem unisucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4288	. . . . . 6 |- suc A = ( A u. { A } )
2	1	unieqi 3741	. . . . 5 |- U. suc A = U. ( A u. { A } )
3		uniun 3750	. . . . 5 |- U. ( A u. { A } ) = ( U. A u. U. { A } )
4	2, 3	eqtri 2158	. . . 4 |- U. suc A = ( U. A u. U. { A } )
5		unisng 3748	. . . . 5 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
6	5	uneq2d 3225	. . . 4 |- ( A e. V -> ( U. A u. U. { A } ) = ( U. A u. A ) )
7	4, 6	syl5eq 2182	. . 3 |- ( A e. V -> U. suc A = ( U. A u. A ) )
8	7	eqeq1d 2146	. 2 |- ( A e. V -> ( U. suc A = A <-> ( U. A u. A ) = A ) )
9		df-tr 4022	. . 3 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
10		ssequn1 3241	. . 3 |- ( U. A C_ A <-> ( U. A u. A ) = A )
11	9, 10	bitri 183	. 2 |- ( Tr A <-> ( U. A u. A ) = A )
12	8, 11	syl6rbbr 198	1 |- ( A e. V -> ( Tr A <-> U. suc A = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   {csn 3522   U.cuni 3731   Tr wtr 4021   suc csuc 4282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-tr 4022  df-suc 4288

This theorem is referenced by:  onsucuni2  4474  nlimsucg  4476  ctmlemr  6986  nnsf  13188  peano4nninf  13189