Theorem unisucg 4373

Description: A transitive class is equal to the union of its successor. Combines Theorem 4E of [Enderton] p. 72 and Exercise 6 of [Enderton] p. 73. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
unisucg	|- ( A e. V -> ( Tr A <-> U. suc A = A ) )

Proof of Theorem unisucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tr 4063	. . 3 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
2		ssequn1 3277	. . 3 |- ( U. A C_ A <-> ( U. A u. A ) = A )
3	1, 2	bitri 183	. 2 |- ( Tr A <-> ( U. A u. A ) = A )
4		df-suc 4330	. . . . . 6 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	unieqi 3782	. . . . 5 |- U. suc A = U. ( A u. { A } )
6		uniun 3791	. . . . 5 |- U. ( A u. { A } ) = ( U. A u. U. { A } )
7	5, 6	eqtri 2178	. . . 4 |- U. suc A = ( U. A u. U. { A } )
8		unisng 3789	. . . . 5 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
9	8	uneq2d 3261	. . . 4 |- ( A e. V -> ( U. A u. U. { A } ) = ( U. A u. A ) )
10	7, 9	syl5eq 2202	. . 3 |- ( A e. V -> U. suc A = ( U. A u. A ) )
11	10	eqeq1d 2166	. 2 |- ( A e. V -> ( U. suc A = A <-> ( U. A u. A ) = A ) )
12	3, 11	bitr4id 198	1 |- ( A e. V -> ( Tr A <-> U. suc A = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   C_ wss 3102   {csn 3560   U.cuni 3772   Tr wtr 4062   suc csuc 4324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-suc 4330

This theorem is referenced by:  onsucuni2  4521  nlimsucg  4523  ctmlemr  7042  nnsf  13538  peano4nninf  13539