Theorem unisucg 4392

Description: A transitive class is equal to the union of its successor. Combines Theorem 4E of [Enderton] p. 72 and Exercise 6 of [Enderton] p. 73. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
unisucg	|- ( A e. V -> ( Tr A <-> U. suc A = A ) )

Proof of Theorem unisucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tr 4081	. . 3 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
2		ssequn1 3292	. . 3 |- ( U. A C_ A <-> ( U. A u. A ) = A )
3	1, 2	bitri 183	. 2 |- ( Tr A <-> ( U. A u. A ) = A )
4		df-suc 4349	. . . . . 6 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	unieqi 3799	. . . . 5 |- U. suc A = U. ( A u. { A } )
6		uniun 3808	. . . . 5 |- U. ( A u. { A } ) = ( U. A u. U. { A } )
7	5, 6	eqtri 2186	. . . 4 |- U. suc A = ( U. A u. U. { A } )
8		unisng 3806	. . . . 5 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
9	8	uneq2d 3276	. . . 4 |- ( A e. V -> ( U. A u. U. { A } ) = ( U. A u. A ) )
10	7, 9	syl5eq 2211	. . 3 |- ( A e. V -> U. suc A = ( U. A u. A ) )
11	10	eqeq1d 2174	. 2 |- ( A e. V -> ( U. suc A = A <-> ( U. A u. A ) = A ) )
12	3, 11	bitr4id 198	1 |- ( A e. V -> ( Tr A <-> U. suc A = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   C_ wss 3116   {csn 3576   U.cuni 3789   Tr wtr 4080   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  onsucuni2  4541  nlimsucg  4543  ctmlemr  7073  nnnninfeq2  7093  nnsf  13895  peano4nninf  13896