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Theorem dfnfc2 3842
Description: An alternate statement of the effective freeness of a class 
A, when it is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfnfc2  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hints:    A( x)    V( x, y)

Proof of Theorem dfnfc2
StepHypRef Expression
1 nfcvd 2333 . . . 4  |-  ( F/_ x A  ->  F/_ x
y )
2 id 19 . . . 4  |-  ( F/_ x A  ->  F/_ x A )
31, 2nfeqd 2347 . . 3  |-  ( F/_ x A  ->  F/ x  y  =  A )
43alrimiv 1885 . 2  |-  ( F/_ x A  ->  A. y F/ x  y  =  A )
5 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  A. y F/ x  y  =  A )
6 df-nfc 2321 . . . . . . 7  |-  ( F/_ x { A }  <->  A. y F/ x  y  e.  { A } )
7 velsn 3624 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
87nfbii 1484 . . . . . . . 8  |-  ( F/ x  y  e.  { A }  <->  F/ x  y  =  A )
98albii 1481 . . . . . . 7  |-  ( A. y F/ x  y  e. 
{ A }  <->  A. y F/ x  y  =  A )
106, 9bitri 184 . . . . . 6  |-  ( F/_ x { A }  <->  A. y F/ x  y  =  A )
115, 10sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  F/_ x { A } )
1211nfunid 3831 . . . 4  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  F/_ x U. { A } )
13 nfa1 1552 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  A  e.  V
14 nfnf1 1555 . . . . . . 7  |-  F/ x F/ x  y  =  A
1514nfal 1587 . . . . . 6  |-  F/ x A. y F/ x  y  =  A
1613, 15nfan 1576 . . . . 5  |-  F/ x
( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )
17 unisng 3841 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  U. { A }  =  A
)
1817sps 1548 . . . . . 6  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  U. { A }  =  A )
1918adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  U. { A }  =  A
)
2016, 19nfceqdf 2331 . . . 4  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  ( F/_ x U. { A } 
<-> 
F/_ x A ) )
2112, 20mpbid 147 . . 3  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  F/_ x A )
2221ex 115 . 2  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  ( A. y F/ x  y  =  A  ->  F/_ x A ) )
234, 22impbid2 143 1  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1362    = wceq 1364   F/wnf 1471    e. wcel 2160   F/_wnfc 2319   {csn 3607   U.cuni 3824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825
This theorem is referenced by:  eusv2nf  4471
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