Theorem dfnfc2 3916

Description: An alternate statement of the effective freeness of a class A, when it is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfnfc2	|- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   V( x, y)

Proof of Theorem dfnfc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcvd 2376	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x y )
2		id 19	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x A )
3	1, 2	nfeqd 2390	. . 3 |- ( F/_ x A -> F/ x y = A )
4	3	alrimiv 1922	. 2 |- ( F/_ x A -> A. y F/ x y = A )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> A. y F/ x y = A )
6		df-nfc 2364	. . . . . . 7 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y e. { A } )
7		velsn 3690	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { A } <-> y = A )
8	7	nfbii 1522	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y e. { A } <-> F/ x y = A )
9	8	albii 1519	. . . . . . 7 |- ( A. y F/ x y e. { A } <-> A. y F/ x y = A )
10	6, 9	bitri 184	. . . . . 6 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y = A )
11	5, 10	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x { A } )
12	11	nfunid 3905	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x U. { A } )
13		nfa1 1590	. . . . . 6 |- F/ x A. x A e. V
14		nfnf1 1593	. . . . . . 7 |- F/ x F/ x y = A
15	14	nfal 1625	. . . . . 6 |- F/ x A. y F/ x y = A
16	13, 15	nfan 1614	. . . . 5 |- F/ x ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A )
17		unisng 3915	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
18	17	sps 1586	. . . . . 6 |- ( A. x A e. V -> U. { A } = A )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> U. { A } = A )
20	16, 19	nfceqdf 2374	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> ( F/_ x U. { A } <-> F/_ x A ) )
21	12, 20	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x A )
22	21	ex 115	. 2 |- ( A. x A e. V -> ( A. y F/ x y = A -> F/_ x A ) )
23	4, 22	impbid2 143	1 |- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   F/wnf 1509   e. wcel 2202   F/_wnfc 2362   {csn 3673   U.cuni 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899

This theorem is referenced by:  eusv2nf  4559