Theorem dfnfc2 3666

Description: An alternate statement of the effective freeness of a class A, when it is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfnfc2	|- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   V( x, y)

Proof of Theorem dfnfc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcvd 2229	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x y )
2		id 19	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x A )
3	1, 2	nfeqd 2243	. . 3 |- ( F/_ x A -> F/ x y = A )
4	3	alrimiv 1802	. 2 |- ( F/_ x A -> A. y F/ x y = A )
5		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> A. y F/ x y = A )
6		df-nfc 2217	. . . . . . 7 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y e. { A } )
7		velsn 3458	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { A } <-> y = A )
8	7	nfbii 1407	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y e. { A } <-> F/ x y = A )
9	8	albii 1404	. . . . . . 7 |- ( A. y F/ x y e. { A } <-> A. y F/ x y = A )
10	6, 9	bitri 182	. . . . . 6 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y = A )
11	5, 10	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x { A } )
12	11	nfunid 3655	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x U. { A } )
13		nfa1 1479	. . . . . 6 |- F/ x A. x A e. V
14		nfnf1 1481	. . . . . . 7 |- F/ x F/ x y = A
15	14	nfal 1513	. . . . . 6 |- F/ x A. y F/ x y = A
16	13, 15	nfan 1502	. . . . 5 |- F/ x ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A )
17		unisng 3665	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
18	17	sps 1475	. . . . . 6 |- ( A. x A e. V -> U. { A } = A )
19	18	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> U. { A } = A )
20	16, 19	nfceqdf 2227	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> ( F/_ x U. { A } <-> F/_ x A ) )
21	12, 20	mpbid 145	. . 3 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x A )
22	21	ex 113	. 2 |- ( A. x A e. V -> ( A. y F/ x y = A -> F/_ x A ) )
23	4, 22	impbid2 141	1 |- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   = wceq 1289   F/wnf 1394   e. wcel 1438   F/_wnfc 2215   {csn 3441   U.cuni 3648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649

This theorem is referenced by:  eusv2nf  4269