Theorem dfnfc2 3882

Description: An alternate statement of the effective freeness of a class A, when it is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfnfc2	|- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   V( x, y)

Proof of Theorem dfnfc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcvd 2351	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x y )
2		id 19	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x A )
3	1, 2	nfeqd 2365	. . 3 |- ( F/_ x A -> F/ x y = A )
4	3	alrimiv 1898	. 2 |- ( F/_ x A -> A. y F/ x y = A )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> A. y F/ x y = A )
6		df-nfc 2339	. . . . . . 7 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y e. { A } )
7		velsn 3660	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { A } <-> y = A )
8	7	nfbii 1497	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y e. { A } <-> F/ x y = A )
9	8	albii 1494	. . . . . . 7 |- ( A. y F/ x y e. { A } <-> A. y F/ x y = A )
10	6, 9	bitri 184	. . . . . 6 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y = A )
11	5, 10	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x { A } )
12	11	nfunid 3871	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x U. { A } )
13		nfa1 1565	. . . . . 6 |- F/ x A. x A e. V
14		nfnf1 1568	. . . . . . 7 |- F/ x F/ x y = A
15	14	nfal 1600	. . . . . 6 |- F/ x A. y F/ x y = A
16	13, 15	nfan 1589	. . . . 5 |- F/ x ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A )
17		unisng 3881	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
18	17	sps 1561	. . . . . 6 |- ( A. x A e. V -> U. { A } = A )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> U. { A } = A )
20	16, 19	nfceqdf 2349	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> ( F/_ x U. { A } <-> F/_ x A ) )
21	12, 20	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x A )
22	21	ex 115	. 2 |- ( A. x A e. V -> ( A. y F/ x y = A -> F/_ x A ) )
23	4, 22	impbid2 143	1 |- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   F/wnf 1484   e. wcel 2178   F/_wnfc 2337   {csn 3643   U.cuni 3864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865

This theorem is referenced by:  eusv2nf  4521