Theorem dfnfc2 3868

Description: An alternate statement of the effective freeness of a class A, when it is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dfnfc2	|- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   V( x, y)

Proof of Theorem dfnfc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcvd 2349	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x y )
2		id 19	. . . 4 |- ( F/_ x A -> F/_ x A )
3	1, 2	nfeqd 2363	. . 3 |- ( F/_ x A -> F/ x y = A )
4	3	alrimiv 1897	. 2 |- ( F/_ x A -> A. y F/ x y = A )
5		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> A. y F/ x y = A )
6		df-nfc 2337	. . . . . . 7 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y e. { A } )
7		velsn 3650	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { A } <-> y = A )
8	7	nfbii 1496	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y e. { A } <-> F/ x y = A )
9	8	albii 1493	. . . . . . 7 |- ( A. y F/ x y e. { A } <-> A. y F/ x y = A )
10	6, 9	bitri 184	. . . . . 6 |- ( F/_ x { A } <-> A. y F/ x y = A )
11	5, 10	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x { A } )
12	11	nfunid 3857	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x U. { A } )
13		nfa1 1564	. . . . . 6 |- F/ x A. x A e. V
14		nfnf1 1567	. . . . . . 7 |- F/ x F/ x y = A
15	14	nfal 1599	. . . . . 6 |- F/ x A. y F/ x y = A
16	13, 15	nfan 1588	. . . . 5 |- F/ x ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A )
17		unisng 3867	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> U. { A } = A )
18	17	sps 1560	. . . . . 6 |- ( A. x A e. V -> U. { A } = A )
19	18	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> U. { A } = A )
20	16, 19	nfceqdf 2347	. . . 4 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> ( F/_ x U. { A } <-> F/_ x A ) )
21	12, 20	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A. x A e. V /\ A. y F/ x y = A ) -> F/_ x A )
22	21	ex 115	. 2 |- ( A. x A e. V -> ( A. y F/ x y = A -> F/_ x A ) )
23	4, 22	impbid2 143	1 |- ( A. x A e. V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   F/wnf 1483   e. wcel 2176   F/_wnfc 2335   {csn 3633   U.cuni 3850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851

This theorem is referenced by:  eusv2nf  4504