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Theorem dfnfc2 3666
Description: An alternate statement of the effective freeness of a class 
A, when it is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfnfc2  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hints:    A( x)    V( x, y)

Proof of Theorem dfnfc2
StepHypRef Expression
1 nfcvd 2229 . . . 4  |-  ( F/_ x A  ->  F/_ x
y )
2 id 19 . . . 4  |-  ( F/_ x A  ->  F/_ x A )
31, 2nfeqd 2243 . . 3  |-  ( F/_ x A  ->  F/ x  y  =  A )
43alrimiv 1802 . 2  |-  ( F/_ x A  ->  A. y F/ x  y  =  A )
5 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  A. y F/ x  y  =  A )
6 df-nfc 2217 . . . . . . 7  |-  ( F/_ x { A }  <->  A. y F/ x  y  e.  { A } )
7 velsn 3458 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
87nfbii 1407 . . . . . . . 8  |-  ( F/ x  y  e.  { A }  <->  F/ x  y  =  A )
98albii 1404 . . . . . . 7  |-  ( A. y F/ x  y  e. 
{ A }  <->  A. y F/ x  y  =  A )
106, 9bitri 182 . . . . . 6  |-  ( F/_ x { A }  <->  A. y F/ x  y  =  A )
115, 10sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  F/_ x { A } )
1211nfunid 3655 . . . 4  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  F/_ x U. { A } )
13 nfa1 1479 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  A  e.  V
14 nfnf1 1481 . . . . . . 7  |-  F/ x F/ x  y  =  A
1514nfal 1513 . . . . . 6  |-  F/ x A. y F/ x  y  =  A
1613, 15nfan 1502 . . . . 5  |-  F/ x
( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )
17 unisng 3665 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  U. { A }  =  A
)
1817sps 1475 . . . . . 6  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  U. { A }  =  A )
1918adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  U. { A }  =  A
)
2016, 19nfceqdf 2227 . . . 4  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  ( F/_ x U. { A } 
<-> 
F/_ x A ) )
2112, 20mpbid 145 . . 3  |-  ( ( A. x  A  e.  V  /\  A. y F/ x  y  =  A )  ->  F/_ x A )
2221ex 113 . 2  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  ( A. y F/ x  y  =  A  ->  F/_ x A ) )
234, 22impbid2 141 1  |-  ( A. x  A  e.  V  ->  ( F/_ x A  <->  A. y F/ x  y  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289   F/wnf 1394    e. wcel 1438   F/_wnfc 2215   {csn 3441   U.cuni 3648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649
This theorem is referenced by:  eusv2nf  4269
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