Theorem un0mulcl 9169

Description: If S is closed under multiplication, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0mulcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2237	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3268	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 183	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2237	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3268	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3290	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtrri 3182	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )
11	9, 10	sselid 3145	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. T )
12	11	expr 373	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 3147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	mul02d 8311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
16		ssun2 3291	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
17	16, 1	sseqtrri 3182	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } C_ T
18		c0ex 7914	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
19	18	snss 3709	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. T <-> { 0 } C_ T )
20	17, 19	mpbir 145	. . . . . . . . 9 |- 0 e. T
21	15, 20	eqeltrdi 2261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) e. T )
22		elsni 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
23	22	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( 0 x. N ) )
24	23	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( 0 x. N ) e. T ) )
25	21, 24	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
26	25	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
27	12, 26	jaodan 792	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
28	7, 27	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
29		0cnd 7913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
30	29	snssd 3725	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
31	13, 30	unssd 3303	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
32	1, 31	eqsstrid 3193	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
33	32	sselda 3147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
34	33	mul01d 8312	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) = 0 )
35	34, 20	eqeltrdi 2261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) e. T )
36		elsni 3601	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
37	36	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( M x. 0 ) )
38	37	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( M x. 0 ) e. T ) )
39	35, 38	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
40	28, 39	jaod 712	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M x. N ) e. T ) )
41	4, 40	syl5bi 151	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M x. N ) e. T ) )
42	41	impr 377	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121   {csn 3583  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   x. cmul 7779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  9171