Theorem un0mulcl 9148

Description: If S is closed under multiplication, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0mulcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2233	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3263	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 183	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2233	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3263	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3285	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtrri 3177	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )
11	9, 10	sselid 3140	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. T )
12	11	expr 373	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	mul02d 8290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
16		ssun2 3286	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
17	16, 1	sseqtrri 3177	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } C_ T
18		c0ex 7893	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
19	18	snss 3702	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. T <-> { 0 } C_ T )
20	17, 19	mpbir 145	. . . . . . . . 9 |- 0 e. T
21	15, 20	eqeltrdi 2257	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) e. T )
22		elsni 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
23	22	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( 0 x. N ) )
24	23	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( 0 x. N ) e. T ) )
25	21, 24	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
26	25	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
27	12, 26	jaodan 787	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
28	7, 27	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
29		0cnd 7892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
30	29	snssd 3718	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
31	13, 30	unssd 3298	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
32	1, 31	eqsstrid 3188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
33	32	sselda 3142	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
34	33	mul01d 8291	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) = 0 )
35	34, 20	eqeltrdi 2257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) e. T )
36		elsni 3594	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
37	36	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( M x. 0 ) )
38	37	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( M x. 0 ) e. T ) )
39	35, 38	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
40	28, 39	jaod 707	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M x. N ) e. T ) )
41	4, 40	syl5bi 151	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M x. N ) e. T ) )
42	41	impr 377	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   C_ wss 3116   {csn 3576  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   x. cmul 7758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  9150