Theorem un0mulcl 9518

Description: If S is closed under multiplication, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0mulcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0mulcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Proof of Theorem un0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2299	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3359	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2299	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3359	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3381	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtrri 3272	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0mulcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. S )
11	9, 10	sselid 3235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M x. N ) e. T )
12	11	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 3237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	mul02d 8653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
16		ssun2 3382	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
17	16, 1	sseqtrri 3272	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } C_ T
18		c0ex 8256	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
19	18	snss 3822	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. T <-> { 0 } C_ T )
20	17, 19	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- 0 e. T
21	15, 20	eqeltrdi 2323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 x. N ) e. T )
22		elsni 3700	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
23	22	oveq1d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( 0 x. N ) )
24	23	eleq1d 2301	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( 0 x. N ) e. T ) )
25	21, 24	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
26	25	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
27	12, 26	jaodan 805	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
28	7, 27	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M x. N ) e. T ) )
29		0cnd 8255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
30	29	snssd 3832	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
31	13, 30	unssd 3394	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
32	1, 31	eqsstrid 3283	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
33	32	sselda 3237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
34	33	mul01d 8654	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) = 0 )
35	34, 20	eqeltrdi 2323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M x. 0 ) e. T )
36		elsni 3700	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
37	36	oveq2d 6057	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) = ( M x. 0 ) )
38	37	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M x. N ) e. T <-> ( M x. 0 ) e. T ) )
39	35, 38	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M x. N ) e. T ) )
40	28, 39	jaod 725	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M x. N ) e. T ) )
41	4, 40	biimtrid 152	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M x. N ) e. T ) )
42	41	impr 379	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M x. N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3208   C_ wss 3210   {csn 3682  (class class class)co 6041   CCcc 8113   0cc0 8115   x. cmul 8120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-setind 4650  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-sub 8434

This theorem is referenced by:  nn0mulcl  9520  plymullem  15585