Theorem bj-charfun 16577

Description: Properties of the characteristic function on the class X of the class A. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	|- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	|- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, A   x, F

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
2		fmelpw1o 7557	. . . 4 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o )
4	1, 3	fmpt3d 5833	. 2 |- ( ph -> F : X --> ~P 1o )
5		inss1 3441	. . . . 5 |- ( X i^i A ) C_ X
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( X i^i A ) C_ X )
7		difssd 3346	. . . 4 |- ( ph -> ( X \ A ) C_ X )
8	6, 7	unssd 3395	. . 3 |- ( ph -> ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) C_ X )
9		elun 3360	. . . . 5 |- ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) <-> ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. ( X i^i A ) )
11	10	elin1d 3408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. X )
12	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
13		1oex 6655	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
14		0ex 4237	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
15	13, 14	ifelpwun 4604	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
17	12, 16	fvmpt2d 5764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
18	11, 17	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
19	10	elin2d 3409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. A )
20	19	iftrued 3629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = 1o )
21	18, 20	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = 1o )
22		1lt2o 6675	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2323	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
24	23	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X i^i A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. ( X \ A ) )
26	25	eldifad 3222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. X )
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
29	27, 28	fvmpt2d 5764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
30	26, 29	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
31	25	eldifbd 3223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> -. x e. A )
32	31	iffalsed 3632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = (/) )
33	30, 32	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = (/) )
34		0lt2o 6674	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2323	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X \ A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
37	24, 36	jaod 725	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
38	9, 37	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
39	38	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
40	4, 8, 39	resflem 5841	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o )
41	21	ralrimiva 2615	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o )
42	33	ralrimiva 2615	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) )
43	41, 42	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) )
44	4, 40, 43	jca31 309	1 |- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   \ cdif 3208   u. cun 3209   i^i cin 3210   C_ wss 3211   (/)c0 3508   ifcif 3620   ~Pcpw 3669   |-> cmpt 4171   |` cres 4751   -->wf 5348   ` cfv 5352   1oc1o 6640   2oc2o 6641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-1o 6647  df-2o 6648

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  16579