Theorem bj-charfun 16338

Description: Properties of the characteristic function on the class X of the class A. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	|- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	|- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, A   x, F

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
2		fmelpw1o 7455	. . . 4 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o )
4	1, 3	fmpt3d 5799	. 2 |- ( ph -> F : X --> ~P 1o )
5		inss1 3425	. . . . 5 |- ( X i^i A ) C_ X
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( X i^i A ) C_ X )
7		difssd 3332	. . . 4 |- ( ph -> ( X \ A ) C_ X )
8	6, 7	unssd 3381	. . 3 |- ( ph -> ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) C_ X )
9		elun 3346	. . . . 5 |- ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) <-> ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. ( X i^i A ) )
11	10	elin1d 3394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. X )
12	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
13		1oex 6585	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
14		0ex 4214	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
15	13, 14	ifelpwun 4578	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
17	12, 16	fvmpt2d 5729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
18	11, 17	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
19	10	elin2d 3395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. A )
20	19	iftrued 3610	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = 1o )
21	18, 20	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = 1o )
22		1lt2o 6605	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2320	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
24	23	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X i^i A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. ( X \ A ) )
26	25	eldifad 3209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. X )
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
29	27, 28	fvmpt2d 5729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
30	26, 29	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
31	25	eldifbd 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> -. x e. A )
32	31	iffalsed 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = (/) )
33	30, 32	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = (/) )
34		0lt2o 6604	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2320	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X \ A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
37	24, 36	jaod 722	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
38	9, 37	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
39	38	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
40	4, 8, 39	resflem 5807	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o )
41	21	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o )
42	33	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) )
43	41, 42	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) )
44	4, 40, 43	jca31 309	1 |- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3195   u. cun 3196   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   ifcif 3603   ~Pcpw 3650   |-> cmpt 4148   |` cres 4725   -->wf 5320   ` cfv 5324   1oc1o 6570   2oc2o 6571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  16340