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Theorem bj-charfun 13842
Description: Properties of the characteristic function on the class  X of the class  A. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
bj-charfun.1  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) )
Assertion
Ref Expression
bj-charfun  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> ~P 1o  /\  ( F  |`  ( ( X  i^i  A )  u.  ( X  \  A
) ) ) : ( ( X  i^i  A )  u.  ( X 
\  A ) ) --> 2o )  /\  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( F `  x )  =  1o  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( F `
 x )  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, A    x, F

Proof of Theorem bj-charfun
StepHypRef Expression
1 bj-charfun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) )
2 fmelpw1o 13841 . . . 4  |-  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) )  e. 
~P 1o
32a1i 9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) )  e. 
~P 1o )
41, 3fmpt3d 5652 . 2  |-  ( ph  ->  F : X --> ~P 1o )
5 inss1 3347 . . . . 5  |-  ( X  i^i  A )  C_  X
65a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  C_  X )
7 difssd 3254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  \  A
)  C_  X )
86, 7unssd 3303 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  i^i  A )  u.  ( X 
\  A ) ) 
C_  X )
9 elun 3268 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( X  i^i  A )  u.  ( X  \  A
) )  <->  ( x  e.  ( X  i^i  A
)  \/  x  e.  ( X  \  A
) ) )
10 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  x  e.  ( X  i^i  A ) )
1110elin1d 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  x  e.  X )
121adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) )
13 1oex 6403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
14 0ex 4116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
1513, 14ifelpwun 4468 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) )  e. 
~P ( 1o  u.  (/) )
1615a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A
) )  /\  x  e.  X )  ->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) )  e. 
~P ( 1o  u.  (/) ) )
1712, 16fvmpt2d 5582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) )
1811, 17mpdan 419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) )
1910elin2d 3317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  x  e.  A )
2019iftrued 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  1o ,  (/) )  =  1o )
2118, 20eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  ( F `  x )  =  1o )
22 1lt2o 6421 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  2o
2321, 22eqeltrdi 2261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  i^i  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  2o )
2423ex 114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X  i^i  A )  ->  ( F `  x )  e.  2o ) )
25 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  x  e.  ( X  \  A ) )
2625eldifad 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  x  e.  X )
271adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) ) )
2815a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X  \  A
) )  /\  x  e.  X )  ->  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) )  e. 
~P ( 1o  u.  (/) ) )
2927, 28fvmpt2d 5582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X  \  A
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) )
3026, 29mpdan 419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e.  A ,  1o ,  (/) ) )
3125eldifbd 3133 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
3231iffalsed 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
3330, 32eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  (/) )
34 0lt2o 6420 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  2o
3533, 34eqeltrdi 2261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X  \  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  2o )
3635ex 114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( F `  x )  e.  2o ) )
3724, 36jaod 712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X  i^i  A
)  \/  x  e.  ( X  \  A
) )  ->  ( F `  x )  e.  2o ) )
389, 37syl5bi 151 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( X  i^i  A
)  u.  ( X 
\  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  2o ) )
3938imp 123 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( X  i^i  A )  u.  ( X 
\  A ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  2o )
404, 8, 39resflem 5660 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( X  i^i  A
)  u.  ( X 
\  A ) ) ) : ( ( X  i^i  A )  u.  ( X  \  A ) ) --> 2o )
4121ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( F `  x
)  =  1o )
4233ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X  \  A ) ( F `  x
)  =  (/) )
4341, 42jca 304 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  A
) ( F `  x )  =  1o 
/\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( F `  x
)  =  (/) ) )
444, 40, 43jca31 307 1  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> ~P 1o  /\  ( F  |`  ( ( X  i^i  A )  u.  ( X  \  A
) ) ) : ( ( X  i^i  A )  u.  ( X 
\  A ) ) --> 2o )  /\  ( A. x  e.  ( X  i^i  A ) ( F `  x )  =  1o  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) ( F `
 x )  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448    \ cdif 3118    u. cun 3119    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   ~Pcpw 3566    |-> cmpt 4050    |` cres 4613   -->wf 5194   ` cfv 5198   1oc1o 6388   2oc2o 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396
This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  13844
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