Theorem bj-charfun 15453

Description: Properties of the characteristic function on the class X of the class A. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	|- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	|- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, A   x, F

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
2		fmelpw1o 15452	. . . 4 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o )
4	1, 3	fmpt3d 5718	. 2 |- ( ph -> F : X --> ~P 1o )
5		inss1 3383	. . . . 5 |- ( X i^i A ) C_ X
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( X i^i A ) C_ X )
7		difssd 3290	. . . 4 |- ( ph -> ( X \ A ) C_ X )
8	6, 7	unssd 3339	. . 3 |- ( ph -> ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) C_ X )
9		elun 3304	. . . . 5 |- ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) <-> ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. ( X i^i A ) )
11	10	elin1d 3352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. X )
12	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
13		1oex 6482	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
14		0ex 4160	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
15	13, 14	ifelpwun 4518	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
17	12, 16	fvmpt2d 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
18	11, 17	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
19	10	elin2d 3353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. A )
20	19	iftrued 3568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = 1o )
21	18, 20	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = 1o )
22		1lt2o 6500	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
24	23	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X i^i A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. ( X \ A ) )
26	25	eldifad 3168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. X )
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
29	27, 28	fvmpt2d 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
30	26, 29	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
31	25	eldifbd 3169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> -. x e. A )
32	31	iffalsed 3571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = (/) )
33	30, 32	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = (/) )
34		0lt2o 6499	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X \ A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
37	24, 36	jaod 718	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
38	9, 37	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
39	38	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
40	4, 8, 39	resflem 5726	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o )
41	21	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o )
42	33	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) )
43	41, 42	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) )
44	4, 40, 43	jca31 309	1 |- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ifcif 3561   ~Pcpw 3605   |-> cmpt 4094   |` cres 4665   -->wf 5254   ` cfv 5258   1oc1o 6467   2oc2o 6468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-1o 6474  df-2o 6475

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  15455