Theorem bj-charfun 14215

Description: Properties of the characteristic function on the class X of the class A. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	|- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	|- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, A   x, F

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
2		fmelpw1o 14214	. . . 4 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o )
4	1, 3	fmpt3d 5668	. 2 |- ( ph -> F : X --> ~P 1o )
5		inss1 3355	. . . . 5 |- ( X i^i A ) C_ X
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( X i^i A ) C_ X )
7		difssd 3262	. . . 4 |- ( ph -> ( X \ A ) C_ X )
8	6, 7	unssd 3311	. . 3 |- ( ph -> ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) C_ X )
9		elun 3276	. . . . 5 |- ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) <-> ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. ( X i^i A ) )
11	10	elin1d 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. X )
12	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
13		1oex 6419	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
14		0ex 4127	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
15	13, 14	ifelpwun 4480	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
17	12, 16	fvmpt2d 5598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
18	11, 17	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
19	10	elin2d 3325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. A )
20	19	iftrued 3541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = 1o )
21	18, 20	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = 1o )
22		1lt2o 6437	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
24	23	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X i^i A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. ( X \ A ) )
26	25	eldifad 3140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. X )
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
29	27, 28	fvmpt2d 5598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
30	26, 29	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
31	25	eldifbd 3141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> -. x e. A )
32	31	iffalsed 3544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = (/) )
33	30, 32	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = (/) )
34		0lt2o 6436	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X \ A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
37	24, 36	jaod 717	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
38	9, 37	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
39	38	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
40	4, 8, 39	resflem 5676	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o )
41	21	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o )
42	33	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) )
43	41, 42	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) )
44	4, 40, 43	jca31 309	1 |- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   \ cdif 3126   u. cun 3127   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   ~Pcpw 3574   |-> cmpt 4061   |` cres 4625   -->wf 5208   ` cfv 5212   1oc1o 6404   2oc2o 6405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-1o 6411  df-2o 6412

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  14217