Theorem bj-charfun 15747

Description: Properties of the characteristic function on the class X of the class A. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	|- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	|- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, X   x, A   x, F

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
2		fmelpw1o 15746	. . . 4 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P 1o )
4	1, 3	fmpt3d 5736	. 2 |- ( ph -> F : X --> ~P 1o )
5		inss1 3393	. . . . 5 |- ( X i^i A ) C_ X
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( X i^i A ) C_ X )
7		difssd 3300	. . . 4 |- ( ph -> ( X \ A ) C_ X )
8	6, 7	unssd 3349	. . 3 |- ( ph -> ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) C_ X )
9		elun 3314	. . . . 5 |- ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) <-> ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. ( X i^i A ) )
11	10	elin1d 3362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. X )
12	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
13		1oex 6510	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
14		0ex 4171	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
15	13, 14	ifelpwun 4530	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
17	12, 16	fvmpt2d 5666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
18	11, 17	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
19	10	elin2d 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> x e. A )
20	19	iftrued 3578	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = 1o )
21	18, 20	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) = 1o )
22		1lt2o 6528	. . . . . . . 8 |- 1o e. 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X i^i A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
24	23	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X i^i A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. ( X \ A ) )
26	25	eldifad 3177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> x e. X )
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> F = ( x e. X |-> if ( x e. A , 1o , (/) ) ) )
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) e. ~P ( 1o u. (/) ) )
29	27, 28	fvmpt2d 5666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
30	26, 29	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = if ( x e. A , 1o , (/) ) )
31	25	eldifbd 3178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> -. x e. A )
32	31	iffalsed 3581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> if ( x e. A , 1o , (/) ) = (/) )
33	30, 32	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) = (/) )
34		0lt2o 6527	. . . . . . . 8 |- (/) e. 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
36	35	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X \ A ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
37	24, 36	jaod 719	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( X i^i A ) \/ x e. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
38	9, 37	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) -> ( F ` x ) e. 2o ) )
39	38	imp 124	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) -> ( F ` x ) e. 2o )
40	4, 8, 39	resflem 5744	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o )
41	21	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o )
42	33	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) )
43	41, 42	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) )
44	4, 40, 43	jca31 309	1 |- ( ph -> ( ( F : X --> ~P 1o /\ ( F |` ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) ) : ( ( X i^i A ) u. ( X \ A ) ) --> 2o ) /\ ( A. x e. ( X i^i A ) ( F ` x ) = 1o /\ A. x e. ( X \ A ) ( F ` x ) = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   ~Pcpw 3616   |-> cmpt 4105   |` cres 4677   -->wf 5267   ` cfv 5271   1oc1o 6495   2oc2o 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-1o 6502  df-2o 6503

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  15749