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Theorem exmidunben 12430
Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to  NN, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
exmidunben  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem exmidunben
Dummy variables  f  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2742 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
21enref 6768 . . . . . . . . . 10  |-  y  ~~  y
3 2z 9284 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
4 uzennn 10439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  2 )  ~~  NN )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  ~~  NN
6 djuen 7213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  y  /\  ( ZZ>= `  2 )  ~~  NN )  ->  (
y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN ) )
72, 5, 6mp2an 426 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN )
87ensymi 6785 . . . . . . . 8  |-  ( y NN )  ~~  ( y ( ZZ>= `  2 )
)
9 zex 9265 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
10 uzssz 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
119, 10ssexi 4143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  e.  _V
12 1re 7959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
1312ltnri 8053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  1  <  1
14 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_ 
{ 1 } )
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
1614, 15sseldd 3158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { 1 } )
17 elsni 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { 1 }  ->  z  =  1 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  =  1 )
1918breq2d 4017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  (
1  <  z  <->  1  <  1 ) )
2013, 19mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  1  <  z )
21 eluz2gt1 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  z )
2220, 21nsyl 628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2322ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
24 disj 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  ( ZZ>= ` 
2 ) )  =  (/) 
<-> 
A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2 )
)  =  (/) )
26 endjudisj 7212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  ( ZZ>= `  2 )  e.  _V  /\  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  (/) )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
271, 11, 25, 26mp3an12i 1341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  { 1 } )
29 1nn 8933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
30 snssi 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 1 }  C_  NN
3228, 31sstrdi 3169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  NN )
33 2nn 9083 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
34 uznnssnn 9580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
3533, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ZZ>= `  2
)  C_  NN )
3632, 35unssd 3313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
37 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m  x  C_  NN
38 nfra1 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
3937, 38nfan 1565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )
40 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m  x  ~~  NN
4139, 40nfim 1572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
4241nfal 1576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
43 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m om  e. Omni
4442, 43nfan 1565 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )
45 nfv 1528 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  y  C_  { 1 }
4644, 45nfan 1565 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m
( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4847peano2nnd 8937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4948nnzd 9377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ZZ )
50 0p1e1 9036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
51 0red 7961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  e.  RR )
52 nnre 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
53 1red 7975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
54 nngt0 8947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
5551, 52, 53, 54ltadd1dd 8516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  <  ( m  + 
1 ) )
5650, 55eqbrtrrid 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
58 eluz2b1 9604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  < 
( m  +  1 ) ) )
5949, 57, 58sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
60 elun2 3305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
6247nnred 8935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
6362ltp1d 8890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( m  +  1 ) )
64 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
m  <  n  <->  m  <  ( m  +  1 ) ) )
6564rspcev 2843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  /\  m  <  ( m  +  1 ) )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6661, 63, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6766ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( m  e.  NN  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n ) )
6846, 67ralrimi 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n )
691, 11unex 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  e.  _V
70 sseq1 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  C_  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
)
71 rexeq 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. n  e.  x  m  <  n  <->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) m  <  n ) )
7271ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n  <->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) )
7370, 72anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  <->  ( ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) ) )
74 breq1 4008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  ~~  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7573, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  <->  ( (
( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
) )
7669, 75spcv 2833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7836, 68, 77mp2and 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
79 entr 6787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )  ->  ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  NN )
8027, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )
81 entr 6787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y NN ) 
~~  ( y ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )  -> 
( y NN )  ~~  NN )
828, 80, 81sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y NN )  ~~  NN )
8382ensymd 6786 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  NN  ~~  (
y NN ) )
84 bren 6750 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( y NN ) 
<->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
8583, 84sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
86 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  om  e. Omni )
87 nnenom 10437 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
88 enomni 7140 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni ) )
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni )
9086, 89sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  NN  e. Omni )
91 f1ofo 5470 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -1-1-onto-> ( y NN )  ->  f : NN -onto->
( y NN )
)
9291adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  f : NN -onto-> ( y NN ) )
9390, 92fodjuomni 7150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  \/  y  =  (/) ) )
9493orcomd 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y )
)
95 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  y  C_  { 1 } )
96 sssnm 3756 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  w  e.  y  ->  ( y  C_  { 1 }  <->  y  =  { 1 } ) )
9795, 96syl5ibcom 155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  ->  y  =  { 1 } ) )
9897orim2d 788 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( (
y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y
)  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
9994, 98mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) )
10085, 99exlimddv 1898 . . . 4  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) )
101100ex 115 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  ( y  C_  { 1 }  ->  (
y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
102101alrimiv 1874 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  A. y ( y 
C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) ) )
103 exmidsssnc 4205 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) ) )
10429, 103ax-mp 5 . 2  |-  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
105102, 104sylibr 134 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739    u. cun 3129    i^i cin 3130    C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   class class class wbr 4005  EXMIDwem 4196   omcom 4591   -onto->wfo 5216   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5878    ~~ cen 6741   ⊔ cdju 7039  Omnicomni 7135   0cc0 7814   1c1 7815    + caddc 7817    < clt 7995   NNcn 8922   2c2 8973   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-exmid 4197  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-map 6653  df-en 6744  df-dju 7040  df-inl 7049  df-inr 7050  df-omni 7136  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532
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