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Theorem exmidunben 12445
Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to  NN, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
exmidunben  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem exmidunben
Dummy variables  f  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
21enref 6783 . . . . . . . . . 10  |-  y  ~~  y
3 2z 9299 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
4 uzennn 10454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  2 )  ~~  NN )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  ~~  NN
6 djuen 7228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  y  /\  ( ZZ>= `  2 )  ~~  NN )  ->  (
y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN ) )
72, 5, 6mp2an 426 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN )
87ensymi 6800 . . . . . . . 8  |-  ( y NN )  ~~  ( y ( ZZ>= `  2 )
)
9 zex 9280 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
10 uzssz 9565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
119, 10ssexi 4156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  e.  _V
12 1re 7974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
1312ltnri 8068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  1  <  1
14 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_ 
{ 1 } )
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
1614, 15sseldd 3171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { 1 } )
17 elsni 3625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { 1 }  ->  z  =  1 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  =  1 )
1918breq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  (
1  <  z  <->  1  <  1 ) )
2013, 19mtbiri 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  1  <  z )
21 eluz2gt1 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  z )
2220, 21nsyl 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2322ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
24 disj 3486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  ( ZZ>= ` 
2 ) )  =  (/) 
<-> 
A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2 )
)  =  (/) )
26 endjudisj 7227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  ( ZZ>= `  2 )  e.  _V  /\  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  (/) )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
271, 11, 25, 26mp3an12i 1352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  { 1 } )
29 1nn 8948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
30 snssi 3751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 1 }  C_  NN
3228, 31sstrdi 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  NN )
33 2nn 9098 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
34 uznnssnn 9595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
3533, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ZZ>= `  2
)  C_  NN )
3632, 35unssd 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
37 nfv 1539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m  x  C_  NN
38 nfra1 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
3937, 38nfan 1576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )
40 nfv 1539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m  x  ~~  NN
4139, 40nfim 1583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
4241nfal 1587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
43 nfv 1539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m om  e. Omni
4442, 43nfan 1576 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )
45 nfv 1539 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  y  C_  { 1 }
4644, 45nfan 1576 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m
( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4847peano2nnd 8952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4948nnzd 9392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ZZ )
50 0p1e1 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
51 0red 7976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  e.  RR )
52 nnre 8944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
53 1red 7990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
54 nngt0 8962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
5551, 52, 53, 54ltadd1dd 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  <  ( m  + 
1 ) )
5650, 55eqbrtrrid 4054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
58 eluz2b1 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  < 
( m  +  1 ) ) )
5949, 57, 58sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
60 elun2 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
6247nnred 8950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
6362ltp1d 8905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( m  +  1 ) )
64 breq2 4022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
m  <  n  <->  m  <  ( m  +  1 ) ) )
6564rspcev 2856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  /\  m  <  ( m  +  1 ) )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6661, 63, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6766ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( m  e.  NN  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n ) )
6846, 67ralrimi 2561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n )
691, 11unex 4456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  e.  _V
70 sseq1 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  C_  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
)
71 rexeq 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. n  e.  x  m  <  n  <->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) m  <  n ) )
7271ralbidv 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n  <->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) )
7370, 72anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  <->  ( ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) ) )
74 breq1 4021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  ~~  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7573, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  <->  ( (
( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
) )
7669, 75spcv 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7836, 68, 77mp2and 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
79 entr 6802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )  ->  ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  NN )
8027, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )
81 entr 6802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y NN ) 
~~  ( y ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )  -> 
( y NN )  ~~  NN )
828, 80, 81sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y NN )  ~~  NN )
8382ensymd 6801 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  NN  ~~  (
y NN ) )
84 bren 6765 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( y NN ) 
<->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
8583, 84sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
86 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  om  e. Omni )
87 nnenom 10452 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
88 enomni 7155 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni ) )
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni )
9086, 89sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  NN  e. Omni )
91 f1ofo 5483 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -1-1-onto-> ( y NN )  ->  f : NN -onto->
( y NN )
)
9291adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  f : NN -onto-> ( y NN ) )
9390, 92fodjuomni 7165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  \/  y  =  (/) ) )
9493orcomd 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y )
)
95 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  y  C_  { 1 } )
96 sssnm 3769 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  w  e.  y  ->  ( y  C_  { 1 }  <->  y  =  { 1 } ) )
9795, 96syl5ibcom 155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  ->  y  =  { 1 } ) )
9897orim2d 789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( (
y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y
)  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
9994, 98mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) )
10085, 99exlimddv 1910 . . . 4  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) )
101100ex 115 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  ( y  C_  { 1 }  ->  (
y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
102101alrimiv 1885 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  A. y ( y 
C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) ) )
103 exmidsssnc 4218 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) ) )
10429, 103ax-mp 5 . 2  |-  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
105102, 104sylibr 134 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    u. cun 3142    i^i cin 3143    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   class class class wbr 4018  EXMIDwem 4209   omcom 4604   -onto->wfo 5229   -1-1-onto->wf1o 5230   ` cfv 5231  (class class class)co 5891    ~~ cen 6756   ⊔ cdju 7054  Omnicomni 7150   0cc0 7829   1c1 7830    + caddc 7832    < clt 8010   NNcn 8937   2c2 8988   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-exmid 4210  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-er 6553  df-map 6668  df-en 6759  df-dju 7055  df-inl 7064  df-inr 7065  df-omni 7151  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-2 8996  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547
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