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Theorem exmidunben 13295
Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to NN, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
exmidunben |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )
Distinct variable group:   m, n, x
Proof of Theorem exmidunben
Dummy variables f y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2824 . . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
21enref 7041 . . . . . . . . . 10 |- y ~~ y
3 2z 9651 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
4 uzennn 10851 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN
6 djuen 7557 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ y /\ ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y ⊔ NN ) )
72, 5, 6mp2an 430 . . . . . . . . 9 |- ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y ⊔ NN )
87ensymi 7059 . . . . . . . 8 |- ( y ⊔ NN ) ~~ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) )
9 zex 9632 . . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
10 uzssz 9921 . . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ZZ
119, 10ssexi 4266 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 2 ) e. _V
12 1re 8315 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
1312ltnri 8408 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 1 < 1
14 simplr 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> y C_ { 1 } )
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z e. y )
1614, 15sseldd 3249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z e. { 1 } )
17 elsni 3723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { 1 } -> z = 1 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z = 1 )
1918breq2d 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> ( 1 < z <-> 1 < 1 ) )
2013, 19mtbiri 686 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> -. 1 < z )
21 eluz2gt1 9981 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < z )
2220, 21nsyl 637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2322ralrimiva 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> A. z e. y -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24 disj 3572 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) <-> A. z e. y -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) )
26 endjudisj 7556 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ ( ZZ>= ` 2 ) e. _V /\ ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
271, 11, 25, 26mp3an12i 1382 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> y C_ { 1 } )
29 1nn 9294 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
30 snssi 3854 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- { 1 } C_ NN
3228, 31sstrdi 3260 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> y C_ NN )
33 2nn 9445 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
34 uznnssnn 9956 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. NN -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN )
3533, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN )
3632, 35unssd 3405 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN )
37 nfv 1581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m x C_ NN
38 nfra1 2581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m A. m e. NN E. n e. x m < n
3937, 38nfan 1618 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n )
40 nfv 1581 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m x ~~ NN
4139, 40nfim 1625 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ m ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN )
4241nfal 1629 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN )
43 nfv 1581 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m om e. Omni
4442, 43nfan 1618 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni )
45 nfv 1581 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ m y C_ { 1 }
4644, 45nfan 1618 . . . . . . . . . . 11 |- F/ m ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
4847peano2nnd 9298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
4948nnzd 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
50 0p1e1 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 + 1 ) = 1
51 0red 8317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 0 e. RR )
52 nnre 9290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> m e. RR )
53 1red 8331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 1 e. RR )
54 nngt0 9308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 0 < m )
5551, 52, 53, 54ltadd1dd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( 0 + 1 ) < ( m + 1 ) )
5650, 55eqbrtrrid 4161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> 1 < ( m + 1 ) )
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> 1 < ( m + 1 ) )
58 eluz2b1 9980 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( m + 1 ) e. ZZ /\ 1 < ( m + 1 ) ) )
5949, 57, 58sylanbrc 421 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
60 elun2 3397 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
6247nnred 9296 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m e. RR )
6362ltp1d 9250 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m < ( m + 1 ) )
64 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( m < n <-> m < ( m + 1 ) ) )
6564rspcev 2929 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m < ( m + 1 ) ) -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
6661, 63, 65syl2anc 415 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
6766ex 115 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( m e. NN -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
6846, 67ralrimi 2621 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
691, 11unex 4582 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) e. _V
70 sseq1 3271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x C_ NN <-> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN ) )
71 rexeq 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. n e. x m < n <-> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
7271ralbidv 2550 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. m e. NN E. n e. x m < n <-> A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
7370, 72anbi12d 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) <-> ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) ) )
74 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x ~~ NN <-> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
7573, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) <-> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) ) )
7669, 75spcv 2919 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) -> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
7776ad2antrr 492 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
7836, 68, 77mp2and 437 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
79 entr 7061 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
8027, 78, 79syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
81 entr 7061 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y ⊔ NN ) ~~ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ NN ) ~~ NN )
828, 80, 81sylancr 418 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ NN ) ~~ NN )
8382ensymd 7060 . . . . . 6 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> NN ~~ ( y ⊔ NN ) )
84 bren 7020 . . . . . 6 |- ( NN ~~ ( y ⊔ NN ) <-> E. f f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) )
8583, 84sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> E. f f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) )
86 simpllr 540 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> om e. Omni )
87 nnenom 10849 . . . . . . . . . 10 |- NN ~~ om
88 enomni 7469 . . . . . . . . . 10 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Omni <-> om e. Omni ) )
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( NN e. Omni <-> om e. Omni )
9086, 89sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> NN e. Omni )
91 f1ofo 5641 . . . . . . . . 9 |- ( f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) -> f : NN -onto-> ( y ⊔ NN ) )
9291adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> f : NN -onto-> ( y ⊔ NN ) )
9390, 92fodjuomni 7479 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( E. w w e. y \/ y = (/) ) )
9493orcomd 741 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
95 simplr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> y C_ { 1 } )
96 sssnm 3874 . . . . . . . 8 |- ( E. w w e. y -> ( y C_ { 1 } <-> y = { 1 } ) )
9795, 96syl5ibcom 155 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( E. w w e. y -> y = { 1 } ) )
9897orim2d 800 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( ( y = (/) \/ E. w w e. y ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
9994, 98mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) )
10085, 99exlimddv 1954 . . . 4 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) )
101100ex 115 . . 3 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
102101alrimiv 1927 . 2 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
103 exmidsssnc 4335 . . 3 |- ( 1 e. NN -> (EXMID <-> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) ) )
10429, 103ax-mp 5 . 2 |- (EXMID <-> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
105102, 104sylibr 134 1 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   class class class wbr 4125  EXMIDwem 4326   omcom 4732   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ~~ cen 7010   ⊔ cdju 7367  Omnicomni 7464   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-exmid 4327  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378  df-omni 7465  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901
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