Theorem exmidunben 13046

Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to NN, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidunben	|- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Distinct variable group:   m, n, x

Proof of Theorem exmidunben

Dummy variables f y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
2	1	enref 6937	. . . . . . . . . 10 |- y ~~ y
3		2z 9506	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
4		uzennn 10697	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN
6		djuen 7425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ y /\ ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y ⊔ NN ) )
7	2, 5, 6	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y ⊔ NN )
8	7	ensymi 6955	. . . . . . . 8 |- ( y ⊔ NN ) ~~ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) )
9		zex 9487	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
10		uzssz 9775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ZZ
11	9, 10	ssexi 4227	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 2 ) e. _V
12		1re 8177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
13	12	ltnri 8271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 1 < 1
14		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> y C_ { 1 } )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z e. y )
16	14, 15	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z e. { 1 } )
17		elsni 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { 1 } -> z = 1 )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z = 1 )
19	18	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> ( 1 < z <-> 1 < 1 ) )
20	13, 19	mtbiri 681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> -. 1 < z )
21		eluz2gt1 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < z )
22	20, 21	nsyl 633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	22	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> A. z e. y -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		disj 3543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) <-> A. z e. y -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) )
26		endjudisj 7424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ ( ZZ>= ` 2 ) e. _V /\ ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
27	1, 11, 25, 26	mp3an12i 1377	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> y C_ { 1 } )
29		1nn 9153	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
30		snssi 3817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- { 1 } C_ NN
32	28, 31	sstrdi 3239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> y C_ NN )
33		2nn 9304	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
34		uznnssnn 9810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. NN -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN )
35	33, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN )
36	32, 35	unssd 3383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN )
37		nfv 1576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m x C_ NN
38		nfra1 2563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m A. m e. NN E. n e. x m < n
39	37, 38	nfan 1613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n )
40		nfv 1576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m x ~~ NN
41	39, 40	nfim 1620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ m ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN )
42	41	nfal 1624	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN )
43		nfv 1576	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m om e. Omni
44	42, 43	nfan 1613	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni )
45		nfv 1576	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m y C_ { 1 }
46	44, 45	nfan 1613	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } )
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	47	peano2nnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
49	48	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
50		0p1e1 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 + 1 ) = 1
51		0red 8179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 0 e. RR )
52		nnre 9149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> m e. RR )
53		1red 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 1 e. RR )
54		nngt0 9167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 0 < m )
55	51, 52, 53, 54	ltadd1dd 8735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( 0 + 1 ) < ( m + 1 ) )
56	50, 55	eqbrtrrid 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> 1 < ( m + 1 ) )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> 1 < ( m + 1 ) )
58		eluz2b1 9834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( m + 1 ) e. ZZ /\ 1 < ( m + 1 ) ) )
59	49, 57, 58	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
60		elun2 3375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
62	47	nnred 9155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m e. RR )
63	62	ltp1d 9109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m < ( m + 1 ) )
64		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( m < n <-> m < ( m + 1 ) ) )
65	64	rspcev 2910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m < ( m + 1 ) ) -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
66	61, 63, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
67	66	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( m e. NN -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
68	46, 67	ralrimi 2603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
69	1, 11	unex 4538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) e. _V
70		sseq1 3250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x C_ NN <-> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN ) )
71		rexeq 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. n e. x m < n <-> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
72	71	ralbidv 2532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. m e. NN E. n e. x m < n <-> A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
73	70, 72	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) <-> ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) ) )
74		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x ~~ NN <-> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
75	73, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) <-> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) ) )
76	69, 75	spcv 2900	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) -> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
78	36, 68, 77	mp2and 433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
79		entr 6957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
80	27, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
81		entr 6957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ⊔ NN ) ~~ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ NN ) ~~ NN )
82	8, 80, 81	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ NN ) ~~ NN )
83	82	ensymd 6956	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> NN ~~ ( y ⊔ NN ) )
84		bren 6916	. . . . . 6 |- ( NN ~~ ( y ⊔ NN ) <-> E. f f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) )
85	83, 84	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> E. f f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) )
86		simpllr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> om e. Omni )
87		nnenom 10695	. . . . . . . . . 10 |- NN ~~ om
88		enomni 7337	. . . . . . . . . 10 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Omni <-> om e. Omni ) )
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( NN e. Omni <-> om e. Omni )
90	86, 89	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> NN e. Omni )
91		f1ofo 5590	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) -> f : NN -onto-> ( y ⊔ NN ) )
92	91	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> f : NN -onto-> ( y ⊔ NN ) )
93	90, 92	fodjuomni 7347	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( E. w w e. y \/ y = (/) ) )
94	93	orcomd 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
95		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> y C_ { 1 } )
96		sssnm 3837	. . . . . . . 8 |- ( E. w w e. y -> ( y C_ { 1 } <-> y = { 1 } ) )
97	95, 96	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( E. w w e. y -> y = { 1 } ) )
98	97	orim2d 795	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( ( y = (/) \/ E. w w e. y ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
99	94, 98	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) )
100	85, 99	exlimddv 1947	. . . 4 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) )
101	100	ex 115	. . 3 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
102	101	alrimiv 1922	. 2 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
103		exmidsssnc 4293	. . 3 |- ( 1 e. NN -> (EXMID <-> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) ) )
104	29, 103	ax-mp 5	. 2 |- (EXMID <-> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
105	102, 104	sylibr 134	1 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   u. cun 3198   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   class class class wbr 4088  EXMIDwem 4284   omcom 4688   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ~~ cen 6906   ⊔ cdju 7235  Omnicomni 7332   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   NNcn 9142   2c2 9193   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-exmid 4285  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-omni 7333  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by: (None)