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Theorem exmidunben 12440
Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to  NN, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
exmidunben  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem exmidunben
Dummy variables  f  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2752 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
21enref 6778 . . . . . . . . . 10  |-  y  ~~  y
3 2z 9294 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
4 uzennn 10449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  2 )  ~~  NN )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  ~~  NN
6 djuen 7223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  y  /\  ( ZZ>= `  2 )  ~~  NN )  ->  (
y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN ) )
72, 5, 6mp2an 426 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN )
87ensymi 6795 . . . . . . . 8  |-  ( y NN )  ~~  ( y ( ZZ>= `  2 )
)
9 zex 9275 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
10 uzssz 9560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
119, 10ssexi 4153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  e.  _V
12 1re 7969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
1312ltnri 8063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  1  <  1
14 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_ 
{ 1 } )
15 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
1614, 15sseldd 3168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { 1 } )
17 elsni 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { 1 }  ->  z  =  1 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  =  1 )
1918breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  (
1  <  z  <->  1  <  1 ) )
2013, 19mtbiri 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  1  <  z )
21 eluz2gt1 9615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  z )
2220, 21nsyl 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2322ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
24 disj 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  ( ZZ>= ` 
2 ) )  =  (/) 
<-> 
A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2 )
)  =  (/) )
26 endjudisj 7222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  ( ZZ>= `  2 )  e.  _V  /\  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  (/) )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
271, 11, 25, 26mp3an12i 1351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  { 1 } )
29 1nn 8943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
30 snssi 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 1 }  C_  NN
3228, 31sstrdi 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  NN )
33 2nn 9093 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
34 uznnssnn 9590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
3533, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ZZ>= `  2
)  C_  NN )
3632, 35unssd 3323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
37 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m  x  C_  NN
38 nfra1 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
3937, 38nfan 1575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )
40 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m  x  ~~  NN
4139, 40nfim 1582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
4241nfal 1586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
43 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m om  e. Omni
4442, 43nfan 1575 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )
45 nfv 1538 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  y  C_  { 1 }
4644, 45nfan 1575 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m
( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4847peano2nnd 8947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4948nnzd 9387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ZZ )
50 0p1e1 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
51 0red 7971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  e.  RR )
52 nnre 8939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
53 1red 7985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
54 nngt0 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
5551, 52, 53, 54ltadd1dd 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  <  ( m  + 
1 ) )
5650, 55eqbrtrrid 4051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
58 eluz2b1 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  < 
( m  +  1 ) ) )
5949, 57, 58sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
60 elun2 3315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
6247nnred 8945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
6362ltp1d 8900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( m  +  1 ) )
64 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
m  <  n  <->  m  <  ( m  +  1 ) ) )
6564rspcev 2853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  /\  m  <  ( m  +  1 ) )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6661, 63, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6766ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( m  e.  NN  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n ) )
6846, 67ralrimi 2558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n )
691, 11unex 4453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  e.  _V
70 sseq1 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  C_  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
)
71 rexeq 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. n  e.  x  m  <  n  <->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) m  <  n ) )
7271ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n  <->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) )
7370, 72anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  <->  ( ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) ) )
74 breq1 4018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  ~~  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7573, 74imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  <->  ( (
( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
) )
7669, 75spcv 2843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7836, 68, 77mp2and 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
79 entr 6797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )  ->  ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  NN )
8027, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )
81 entr 6797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y NN ) 
~~  ( y ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )  -> 
( y NN )  ~~  NN )
828, 80, 81sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y NN )  ~~  NN )
8382ensymd 6796 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  NN  ~~  (
y NN ) )
84 bren 6760 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( y NN ) 
<->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
8583, 84sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
86 simpllr 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  om  e. Omni )
87 nnenom 10447 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
88 enomni 7150 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni ) )
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni )
9086, 89sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  NN  e. Omni )
91 f1ofo 5480 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -1-1-onto-> ( y NN )  ->  f : NN -onto->
( y NN )
)
9291adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  f : NN -onto-> ( y NN ) )
9390, 92fodjuomni 7160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  \/  y  =  (/) ) )
9493orcomd 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y )
)
95 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  y  C_  { 1 } )
96 sssnm 3766 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  w  e.  y  ->  ( y  C_  { 1 }  <->  y  =  { 1 } ) )
9795, 96syl5ibcom 155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  ->  y  =  { 1 } ) )
9897orim2d 789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( (
y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y
)  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
9994, 98mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) )
10085, 99exlimddv 1908 . . . 4  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) )
101100ex 115 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  ( y  C_  { 1 }  ->  (
y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
102101alrimiv 1884 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  A. y ( y 
C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) ) )
103 exmidsssnc 4215 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) ) )
10429, 103ax-mp 5 . 2  |-  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
105102, 104sylibr 134 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709   A.wal 1361    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749    u. cun 3139    i^i cin 3140    C_ wss 3141   (/)c0 3434   {csn 3604   class class class wbr 4015  EXMIDwem 4206   omcom 4601   -onto->wfo 5226   -1-1-onto->wf1o 5227   ` cfv 5228  (class class class)co 5888    ~~ cen 6751   ⊔ cdju 7049  Omnicomni 7145   0cc0 7824   1c1 7825    + caddc 7827    < clt 8005   NNcn 8932   2c2 8983   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-exmid 4207  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-1o 6430  df-2o 6431  df-er 6548  df-map 6663  df-en 6754  df-dju 7050  df-inl 7059  df-inr 7060  df-omni 7146  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542
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