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Theorem exmidunben 11781
Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to  NN, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
exmidunben  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem exmidunben
Dummy variables  f  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2660 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
21enref 6613 . . . . . . . . . 10  |-  y  ~~  y
3 2z 8983 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
4 uzennn 10099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  2 )  ~~  NN )
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  ~~  NN
6 djuen 7015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  y  /\  ( ZZ>= `  2 )  ~~  NN )  ->  (
y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN ) )
72, 5, 6mp2an 420 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  ( y NN )
87ensymi 6630 . . . . . . . 8  |-  ( y NN )  ~~  ( y ( ZZ>= `  2 )
)
9 zex 8964 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
10 uzssz 9244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
119, 10ssexi 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  e.  _V
12 1re 7686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
1312ltnri 7776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  1  <  1
14 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_ 
{ 1 } )
15 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
1614, 15sseldd 3064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { 1 } )
17 elsni 3511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { 1 }  ->  z  =  1 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  z  =  1 )
1918breq2d 3907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  (
1  <  z  <->  1  <  1 ) )
2013, 19mtbiri 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  1  <  z )
21 eluz2gt1 9295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  z )
2220, 21nsyl 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  z  e.  y )  ->  -.  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2322ralrimiva 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
24 disj 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  i^i  ( ZZ>= ` 
2 ) )  =  (/) 
<-> 
A. z  e.  y  -.  z  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
2523, 24sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2 )
)  =  (/) )
26 endjudisj 7014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  _V  /\  ( ZZ>= `  2 )  e.  _V  /\  ( y  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  (/) )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
271, 11, 25, 26mp3an12i 1302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
28 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  { 1 } )
29 1nn 8638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
30 snssi 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
3129, 30ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 1 }  C_  NN
3228, 31syl6ss 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  y  C_  NN )
33 2nn 8782 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
34 uznnssnn 9271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
3533, 34mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ZZ>= `  2
)  C_  NN )
3632, 35unssd 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
37 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m  x  C_  NN
38 nfra1 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
3937, 38nfan 1527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )
40 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m  x  ~~  NN
4139, 40nfim 1534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
4241nfal 1538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )
43 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m om  e. Omni
4442, 43nfan 1527 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )
45 nfv 1491 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  y  C_  { 1 }
4644, 45nfan 1527 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m
( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )
47 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4847peano2nnd 8642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
4948nnzd 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ZZ )
50 0p1e1 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  +  1 )  =  1
51 0red 7688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  e.  RR )
52 nnre 8634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
53 1red 7702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
54 nngt0 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
5551, 52, 53, 54ltadd1dd 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
0  +  1 )  <  ( m  + 
1 ) )
5650, 55eqbrtrrid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
5756adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( m  +  1 ) )
58 eluz2b1 9294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( m  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  < 
( m  +  1 ) ) )
5949, 57, 58sylanbrc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
60 elun2 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
6159, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
) )
6247nnred 8640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
6362ltp1d 8595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( m  +  1 ) )
64 breq2 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
m  <  n  <->  m  <  ( m  +  1 ) ) )
6564rspcev 2760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  /\  m  <  ( m  +  1 ) )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6661, 63, 65syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  m  e.  NN )  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )
6766ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( m  e.  NN  ->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n ) )
6846, 67ralrimi 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n )
691, 11unex 4322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  e.  _V
70 sseq1 3086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  C_  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  C_  NN )
)
71 rexeq 2601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. n  e.  x  m  <  n  <->  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) m  <  n ) )
7271ralbidv 2411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n  <->  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) )
7370, 72anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  <->  ( ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) )  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>= `  2
) ) m  < 
n ) ) )
74 breq1 3898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  ~~  NN  <->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7573, 74imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  <->  ( (
( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
) )
7669, 75spcv 2750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ( x 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) 
C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7776ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( ( ( y  u.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) ) m  <  n )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
)
7836, 68, 77mp2and 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )
79 entr 6632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  ( y  u.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y  u.  ( ZZ>= `  2 )
)  ~~  NN )  ->  ( y ( ZZ>= ` 
2 ) )  ~~  NN )
8027, 78, 79syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )
81 entr 6632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y NN ) 
~~  ( y ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  ( y ( ZZ>=
`  2 ) ) 
~~  NN )  -> 
( y NN )  ~~  NN )
828, 80, 81sylancr 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y NN )  ~~  NN )
8382ensymd 6631 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  NN  ~~  (
y NN ) )
84 bren 6595 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( y NN ) 
<->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
8583, 84sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  E. f  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )
86 simpllr 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  om  e. Omni )
87 nnenom 10097 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
88 enomni 6961 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN 
~~  om  ->  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni ) )
8987, 88ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  e. Omni 
<->  om  e. Omni )
9086, 89sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  NN  e. Omni )
91 f1ofo 5330 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -1-1-onto-> ( y NN )  ->  f : NN -onto->
( y NN )
)
9291adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  f : NN -onto-> ( y NN ) )
9390, 92fodjuomni 6971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  \/  y  =  (/) ) )
9493orcomd 701 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y )
)
95 simplr 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  y  C_  { 1 } )
96 sssnm 3647 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  w  e.  y  ->  ( y  C_  { 1 }  <->  y  =  { 1 } ) )
9795, 96syl5ibcom 154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( E. w  w  e.  y  ->  y  =  { 1 } ) )
9897orim2d 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( (
y  =  (/)  \/  E. w  w  e.  y
)  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
9994, 98mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x
( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n
)  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_  { 1 } )  /\  f : NN -1-1-onto-> ( y NN ) )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) )
10085, 99exlimddv 1852 . . . 4  |-  ( ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\ 
A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  /\  y  C_ 
{ 1 } )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) )
101100ex 114 . . 3  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  ( y  C_  { 1 }  ->  (
y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
102101alrimiv 1828 . 2  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  ->  A. y ( y 
C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  {
1 } ) ) )
103 exmidsssnc 4086 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) ) )
10429, 103ax-mp 7 . 2  |-  (EXMID  <->  A. y
( y  C_  { 1 }  ->  ( y  =  (/)  \/  y  =  { 1 } ) ) )
105102, 104sylibr 133 1  |-  ( ( A. x ( ( x  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  x  m  <  n )  ->  x  ~~  NN )  /\  om  e. Omni )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   _Vcvv 2657    u. cun 3035    i^i cin 3036    C_ wss 3037   (/)c0 3329   {csn 3493   class class class wbr 3895  EXMIDwem 4078   omcom 4464   -onto->wfo 5079   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728    ~~ cen 6586   ⊔ cdju 6874  Omnicomni 6954   0cc0 7544   1c1 7545    + caddc 7547    < clt 7721   NNcn 8627   2c2 8678   ZZcz 8955   ZZ>=cuz 9225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-ltadd 7658
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-exmid 4079  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-2o 6268  df-er 6383  df-map 6498  df-en 6589  df-dju 6875  df-inl 6884  df-inr 6885  df-omni 6956  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-inn 8628  df-2 8686  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226
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