Theorem fsumcncntop 14803

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
fsumcncntop.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcncntop.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcncntop.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11520	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	mpteq2dv 4124	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
3	2	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
4		sumeq1 11520	. . . 4 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
5	4	mpteq2dv 4124	. . 3 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
6	5	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
7		sumeq1 11520	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
8	7	mpteq2dv 4124	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
9	8	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
10		sumeq1 11520	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
11	10	mpteq2dv 4124	. . 3 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
12	11	eleq1d 2265	. 2 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
13		sum0 11553	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
14	13	mpteq2i 4120	. . 3 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
15		fsumcncntop.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	cntoptopon 14768	. . . . 5 |- K e. (TopOn ` CC )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		0cnd 8019	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
20	15, 18, 19	cnmptc 14518	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
21	14, 20	eqeltrid 2283	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. ( A \ y ) )
23	22	eldifbd 3169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> -. z e. y )
24		disjsn 3684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
26		eqidd 2197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
27		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y e. Fin )
28		unsnfi 6980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ z e. ( A \ y ) /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
30		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
31		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y C_ A )
32	22	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. A )
33	32	snssd 3767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> { z } C_ A )
34	31, 33	unssd 3339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
35	34	sselda 3183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
37	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
39		fsumcncntop.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
40		cnf2 14441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
42		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
43	42	fmpt 5712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
44	41, 43	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
45		rsp 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
47	46	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11572	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
50		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ph )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
52	46	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
53	52	ralrimiv 2569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
54	50, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
55		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
56	55	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
57		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
58	57	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
59	56, 58	rspc 2862	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
61		sumsns 11580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ y ) /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
62	22, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
63	62	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
64	49, 63	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
65	64	mpteq2dva 4123	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
67		nfcv 2339	. . . . . 6 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
68		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
69		nfcsb1v 3117	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
70	68, 69	nfsum 11522	. . . . . . 7 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
71		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ x +
72		nfcv 2339	. . . . . . . 8 |- F/_ x z
73	72, 69	nfcsb 3122	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
74	70, 71, 73	nfov 5952	. . . . . 6 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
75		csbeq1a 3093	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
76	75	sumeq2ad 11534	. . . . . . 7 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
77	75	csbeq2dv 3110	. . . . . . 7 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
78	76, 77	oveq12d 5940	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
79	67, 74, 78	cbvmpt 4128	. . . . 5 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
80	66, 79	eqtrdi 2245	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
81	15	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
82		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ w sum_ k e. y B
83	82, 70, 76	cbvmpt 4128	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
84		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
85	83, 84	eqeltrrid 2284	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
86		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
87	86, 73, 77	cbvmpt 4128	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
88		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
89	88	eldifad 3168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> z e. A )
91	39	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
92	91	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
93		nfcv 2339	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k X
94	93, 55	nfmpt 4125	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
95	94	nfel1 2350	. . . . . . . 8 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
96	57	mpteq2dv 4124	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
97	96	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
98	95, 97	rspc 2862	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
100	87, 99	eqeltrrid 2284	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
101	16	addcncntop 14798	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
102	101	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 14522	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
104	80, 103	eqeltrd 2273	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
105	104	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
106		fsumcncntop.5	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 6953	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   [_csb 3084   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   |-> cmpt 4094   o. ccom 4667   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   0cc0 7879   + caddc 7882   - cmin 8197   abscabs 11162   sum_csu 11518   MetOpencmopn 14097  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   tX ctx 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489

This theorem is referenced by:  fsumcn  14804