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Theorem fsumcncntop 12631
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for  B normally contains free variables  k and  x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcncntop.3  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcncntop  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k, A   
k, J, x    ph, k, x    k, K, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)

Proof of Theorem fsumcncntop
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11075 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
21mpteq2dv 3987 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B ) )
32eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
4 sumeq1 11075 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
54mpteq2dv 3987 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )
)
65eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
7 sumeq1 11075 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
87mpteq2dv 3987 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
98eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
10 sumeq1 11075 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
1110mpteq2dv 3987 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )
)
1211eleq1d 2184 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
13 sum0 11108 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
1413mpteq2i 3983 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
15 fsumcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 fsumcncntop.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1716cntoptopon 12607 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1817a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
19 0cnd 7723 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2015, 18, 19cnmptc 12357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  e.  ( J  Cn  K ) )
2114, 20eqeltrid 2202 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
22 simplrr 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
2322eldifbd 3051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  -.  z  e.  y )
24 disjsn 3553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
2523, 24sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  i^i  { z } )  =  (/) )
26 eqidd 2116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  u.  { z } )  =  ( y  u.  { z } ) )
27 simpllr 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  y  e.  Fin )
28 unsnfi 6773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  e.  ( A  \  y )  /\  -.  z  e.  y )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
2927, 22, 23, 28syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
30 simp-4l 513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ph )
31 simplrl 507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  y  C_  A )
3222eldifad 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  A )
3332snssd 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  { z }  C_  A )
3431, 33unssd 3220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
3534sselda 3065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  A
)
36 simplr 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  x  e.  X
)
3715adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
39 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
40 cnf2 12280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
42 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
4342fmpt 5536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
4441, 43sylibr 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
45 rsp 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  ->  ( x  e.  X  ->  B  e.  CC ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  ->  B  e.  CC )
)
4746imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
4830, 35, 36, 47syl21anc 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  B  e.  CC )
4925, 26, 29, 48fsumsplit 11127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B ) )
50 simplll 505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
51 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5246impancom 258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  A  ->  B  e.  CC )
)
5352ralrimiv 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5450, 51, 53syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
55 nfcsb1v 3003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
5655nfel1 2267 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
57 csbeq1a 2981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
5857eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
5956, 58rspc 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6032, 54, 59sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
61 sumsns 11135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  y )  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  = 
[_ z  /  k ]_ B )
6222, 60, 61syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B )
6362oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  {
z } B )  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
6449, 63eqtrd 2148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
6564mpteq2dva 3986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
6665adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
67 nfcv 2256 . . . . . 6  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2256 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
69 nfcsb1v 3003 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
7068, 69nfsum 11077 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
71 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ x  +
72 nfcv 2256 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
z
7372, 69nfcsb 3005 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B
7470, 71, 73nfov 5767 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
75 csbeq1a 2981 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
7675sumeq2ad 11089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)
7775csbeq2dv 2996 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
7876, 77oveq12d 5758 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
7967, 74, 78cbvmpt 3991 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
8066, 79syl6eq 2164 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) ) )
8115ad3antrrr 481 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
82 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  B
8382, 70, 76cbvmpt 3991 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B )
84 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
8583, 84eqeltrrid 2203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
86 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ B
8786, 73, 77cbvmpt 3991 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  =  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
88 simprr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
8988eldifad 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
9089adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  z  e.  A )
9139ralrimiva 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
9291ad3antrrr 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
93 nfcv 2256 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k X
9493, 55nfmpt 3988 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )
9594nfel1 2267 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K )
9657mpteq2dv 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
) )
9796eleq1d 2184 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
9895, 97rspc 2755 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
9990, 92, 98sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
10087, 99eqeltrrid 2203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) )
10116addcncntop 12627 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
102101a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
10381, 85, 100, 102cnmpt12f 12361 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
w  e.  X  |->  (
sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
10480, 103eqeltrd 2192 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) )
105104ex 114 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
106 fsumcn.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1073, 6, 9, 12, 21, 105, 106findcard2sd 6752 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   [_csb 2973    \ cdif 3036    u. cun 3037    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495    |-> cmpt 3957    o. ccom 4511   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   Fincfn 6600   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587    - cmin 7897   abscabs 10720   sum_csu 11073   MetOpencmopn 12060  TopOnctopon 12083    Cn ccn 12260    tX ctx 12327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704  ax-addf 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-map 6510  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-xneg 9510  df-xadd 9511  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074  df-topgen 12047  df-psmet 12062  df-xmet 12063  df-met 12064  df-bl 12065  df-mopn 12066  df-top 12071  df-topon 12084  df-bases 12116  df-cn 12263  df-cnp 12264  df-tx 12328
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