Theorem fsumcncntop 15241

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
fsumcncntop.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcncntop.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcncntop.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11866	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	mpteq2dv 4175	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
3	2	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
4		sumeq1 11866	. . . 4 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
5	4	mpteq2dv 4175	. . 3 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
6	5	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
7		sumeq1 11866	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
8	7	mpteq2dv 4175	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
9	8	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
10		sumeq1 11866	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
11	10	mpteq2dv 4175	. . 3 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
12	11	eleq1d 2298	. 2 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
13		sum0 11899	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
14	13	mpteq2i 4171	. . 3 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
15		fsumcncntop.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	cntoptopon 15206	. . . . 5 |- K e. (TopOn ` CC )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		0cnd 8139	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
20	15, 18, 19	cnmptc 14956	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
21	14, 20	eqeltrid 2316	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. ( A \ y ) )
23	22	eldifbd 3209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> -. z e. y )
24		disjsn 3728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
26		eqidd 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
27		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y e. Fin )
28		unsnfi 7081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ z e. ( A \ y ) /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
30		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
31		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y C_ A )
32	22	eldifad 3208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. A )
33	32	snssd 3813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> { z } C_ A )
34	31, 33	unssd 3380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
35	34	sselda 3224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
37	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
39		fsumcncntop.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
40		cnf2 14879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
42		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
43	42	fmpt 5785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
44	41, 43	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
45		rsp 2577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
47	46	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11918	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
50		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ph )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
52	46	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
53	52	ralrimiv 2602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
54	50, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
55		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
56	55	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
57		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
58	57	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
59	56, 58	rspc 2901	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
61		sumsns 11926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ y ) /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
62	22, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
63	62	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
64	49, 63	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
65	64	mpteq2dva 4174	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
67		nfcv 2372	. . . . . 6 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
68		nfcv 2372	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
69		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
70	68, 69	nfsum 11868	. . . . . . 7 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
71		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ x +
72		nfcv 2372	. . . . . . . 8 |- F/_ x z
73	72, 69	nfcsb 3162	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
74	70, 71, 73	nfov 6031	. . . . . 6 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
75		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
76	75	sumeq2ad 11880	. . . . . . 7 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
77	75	csbeq2dv 3150	. . . . . . 7 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
78	76, 77	oveq12d 6019	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
79	67, 74, 78	cbvmpt 4179	. . . . 5 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
80	66, 79	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
81	15	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
82		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ w sum_ k e. y B
83	82, 70, 76	cbvmpt 4179	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
84		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
85	83, 84	eqeltrrid 2317	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
86		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
87	86, 73, 77	cbvmpt 4179	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
88		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
89	88	eldifad 3208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> z e. A )
91	39	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
92	91	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
93		nfcv 2372	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k X
94	93, 55	nfmpt 4176	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
95	94	nfel1 2383	. . . . . . . 8 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
96	57	mpteq2dv 4175	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
97	96	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
98	95, 97	rspc 2901	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
100	87, 99	eqeltrrid 2317	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
101	16	addcncntop 15236	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
102	101	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 14960	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
104	80, 103	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
105	104	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
106		fsumcncntop.5	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 7054	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3124   \ cdif 3194   u. cun 3195   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   |-> cmpt 4145   o. ccom 4723   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   0cc0 7999   + caddc 8002   - cmin 8317   abscabs 11508   sum_csu 11864   MetOpencmopn 14505  TopOnctopon 14684   Cn ccn 14859   tX ctx 14926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119  ax-addf 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-map 6797  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-cn 14862  df-cnp 14863  df-tx 14927

This theorem is referenced by:  fsumcn  15242