Theorem fsumcncntop 12764

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11156	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	mpteq2dv 4027	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
3	2	eleq1d 2209	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
4		sumeq1 11156	. . . 4 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
5	4	mpteq2dv 4027	. . 3 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
6	5	eleq1d 2209	. 2 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
7		sumeq1 11156	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
8	7	mpteq2dv 4027	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
9	8	eleq1d 2209	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
10		sumeq1 11156	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
11	10	mpteq2dv 4027	. . 3 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
12	11	eleq1d 2209	. 2 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
13		sum0 11189	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
14	13	mpteq2i 4023	. . 3 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
15		fsumcn.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	cntoptopon 12740	. . . . 5 |- K e. (TopOn ` CC )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		0cnd 7783	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
20	15, 18, 19	cnmptc 12490	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
21	14, 20	eqeltrid 2227	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
22		simplrr 526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. ( A \ y ) )
23	22	eldifbd 3088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> -. z e. y )
24		disjsn 3593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
25	23, 24	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
26		eqidd 2141	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
27		simpllr 524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y e. Fin )
28		unsnfi 6815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ z e. ( A \ y ) /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
30		simp-4l 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
31		simplrl 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y C_ A )
32	22	eldifad 3087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. A )
33	32	snssd 3673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> { z } C_ A )
34	31, 33	unssd 3257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
35	34	sselda 3102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
36		simplr 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
37	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
39		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
40		cnf2 12413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
42		eqid 2140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
43	42	fmpt 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
44	41, 43	sylibr 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
45		rsp 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
47	46	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
50		simplll 523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ph )
51		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
52	46	impancom 258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
53	52	ralrimiv 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
54	50, 51, 53	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
55		nfcsb1v 3040	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
56	55	nfel1 2293	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
57		csbeq1a 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
58	57	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
59	56, 58	rspc 2787	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
61		sumsns 11216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ y ) /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
62	22, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
63	62	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
64	49, 63	eqtrd 2173	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
65	64	mpteq2dva 4026	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
66	65	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
67		nfcv 2282	. . . . . 6 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
68		nfcv 2282	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
69		nfcsb1v 3040	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
70	68, 69	nfsum 11158	. . . . . . 7 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
71		nfcv 2282	. . . . . . 7 |- F/_ x +
72		nfcv 2282	. . . . . . . 8 |- F/_ x z
73	72, 69	nfcsb 3042	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
74	70, 71, 73	nfov 5809	. . . . . 6 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
75		csbeq1a 3016	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
76	75	sumeq2ad 11170	. . . . . . 7 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
77	75	csbeq2dv 3033	. . . . . . 7 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
78	76, 77	oveq12d 5800	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
79	67, 74, 78	cbvmpt 4031	. . . . 5 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
80	66, 79	eqtrdi 2189	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
81	15	ad3antrrr 484	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
82		nfcv 2282	. . . . . . 7 |- F/_ w sum_ k e. y B
83	82, 70, 76	cbvmpt 4031	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
84		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
85	83, 84	eqeltrrid 2228	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
86		nfcv 2282	. . . . . . 7 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
87	86, 73, 77	cbvmpt 4031	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
88		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
89	88	eldifad 3087	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
90	89	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> z e. A )
91	39	ralrimiva 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
92	91	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
93		nfcv 2282	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k X
94	93, 55	nfmpt 4028	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
95	94	nfel1 2293	. . . . . . . 8 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
96	57	mpteq2dv 4027	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
97	96	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
98	95, 97	rspc 2787	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
100	87, 99	eqeltrrid 2228	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
101	16	addcncntop 12760	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
102	101	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 12494	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
104	80, 103	eqeltrd 2217	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
105	104	ex 114	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
106		fsumcn.5	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 6794	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   [_csb 3007   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   |-> cmpt 3997   o. ccom 4551   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   Fincfn 6642   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647   - cmin 7957   abscabs 10801   sum_csu 11154   MetOpencmopn 12193  TopOnctopon 12216   Cn ccn 12393   tX ctx 12460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-addf 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461

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