Theorem fsumcncntop 15072

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
fsumcncntop.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcncntop.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcncntop.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11699	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	mpteq2dv 4136	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
3	2	eleq1d 2274	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
4		sumeq1 11699	. . . 4 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
5	4	mpteq2dv 4136	. . 3 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
6	5	eleq1d 2274	. 2 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
7		sumeq1 11699	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
8	7	mpteq2dv 4136	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
9	8	eleq1d 2274	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
10		sumeq1 11699	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
11	10	mpteq2dv 4136	. . 3 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
12	11	eleq1d 2274	. 2 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
13		sum0 11732	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
14	13	mpteq2i 4132	. . 3 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
15		fsumcncntop.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	cntoptopon 15037	. . . . 5 |- K e. (TopOn ` CC )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		0cnd 8067	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
20	15, 18, 19	cnmptc 14787	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
21	14, 20	eqeltrid 2292	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. ( A \ y ) )
23	22	eldifbd 3178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> -. z e. y )
24		disjsn 3695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
26		eqidd 2206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
27		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y e. Fin )
28		unsnfi 7018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ z e. ( A \ y ) /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
30		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
31		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y C_ A )
32	22	eldifad 3177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. A )
33	32	snssd 3778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> { z } C_ A )
34	31, 33	unssd 3349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
35	34	sselda 3193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
37	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
39		fsumcncntop.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
40		cnf2 14710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
42		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
43	42	fmpt 5732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
44	41, 43	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
45		rsp 2553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
47	46	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
50		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ph )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
52	46	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
53	52	ralrimiv 2578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
54	50, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
55		nfcsb1v 3126	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
56	55	nfel1 2359	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
57		csbeq1a 3102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
58	57	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
59	56, 58	rspc 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
61		sumsns 11759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ y ) /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
62	22, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
63	62	oveq2d 5962	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
64	49, 63	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
65	64	mpteq2dva 4135	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
67		nfcv 2348	. . . . . 6 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
68		nfcv 2348	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
69		nfcsb1v 3126	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
70	68, 69	nfsum 11701	. . . . . . 7 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
71		nfcv 2348	. . . . . . 7 |- F/_ x +
72		nfcv 2348	. . . . . . . 8 |- F/_ x z
73	72, 69	nfcsb 3131	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
74	70, 71, 73	nfov 5976	. . . . . 6 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
75		csbeq1a 3102	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
76	75	sumeq2ad 11713	. . . . . . 7 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
77	75	csbeq2dv 3119	. . . . . . 7 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
78	76, 77	oveq12d 5964	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
79	67, 74, 78	cbvmpt 4140	. . . . 5 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
80	66, 79	eqtrdi 2254	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
81	15	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
82		nfcv 2348	. . . . . . 7 |- F/_ w sum_ k e. y B
83	82, 70, 76	cbvmpt 4140	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
84		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
85	83, 84	eqeltrrid 2293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
86		nfcv 2348	. . . . . . 7 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
87	86, 73, 77	cbvmpt 4140	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
88		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
89	88	eldifad 3177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> z e. A )
91	39	ralrimiva 2579	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
92	91	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
93		nfcv 2348	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k X
94	93, 55	nfmpt 4137	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
95	94	nfel1 2359	. . . . . . . 8 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
96	57	mpteq2dv 4136	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
97	96	eleq1d 2274	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
98	95, 97	rspc 2871	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
100	87, 99	eqeltrrid 2293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
101	16	addcncntop 15067	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
102	101	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 14791	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
104	80, 103	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
105	104	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
106		fsumcncntop.5	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 6991	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   [_csb 3093   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   |-> cmpt 4106   o. ccom 4680   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   CCcc 7925   0cc0 7927   + caddc 7930   - cmin 8245   abscabs 11341   sum_csu 11697   MetOpencmopn 14336  TopOnctopon 14515   Cn ccn 14690   tX ctx 14757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047  ax-addf 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-map 6739  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-sup 7088  df-inf 7089  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-xneg 9896  df-xadd 9897  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-sumdc 11698  df-topgen 13125  df-psmet 14338  df-xmet 14339  df-met 14340  df-bl 14341  df-mopn 14342  df-top 14503  df-topon 14516  df-bases 14548  df-cn 14693  df-cnp 14694  df-tx 14758

This theorem is referenced by:  fsumcn  15073