Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumcncntop Unicode version

Theorem fsumcncntop 12927
 Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for normally contains free variables and to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcncntop.3
fsumcn.4 TopOn
fsumcn.5
fsumcn.6
Assertion
Ref Expression
fsumcncntop
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fsumcncntop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11245 . . . 4
21mpteq2dv 4055 . . 3
32eleq1d 2226 . 2
4 sumeq1 11245 . . . 4
54mpteq2dv 4055 . . 3
65eleq1d 2226 . 2
7 sumeq1 11245 . . . 4
87mpteq2dv 4055 . . 3
98eleq1d 2226 . 2
10 sumeq1 11245 . . . 4
1110mpteq2dv 4055 . . 3
1211eleq1d 2226 . 2
13 sum0 11278 . . . 4
1413mpteq2i 4051 . . 3
15 fsumcn.4 . . . 4 TopOn
16 fsumcncntop.3 . . . . . 6
1716cntoptopon 12903 . . . . 5 TopOn
1817a1i 9 . . . 4 TopOn
19 0cnd 7865 . . . 4
2015, 18, 19cnmptc 12653 . . 3
2114, 20eqeltrid 2244 . 2
22 simplrr 526 . . . . . . . . . . 11
2322eldifbd 3114 . . . . . . . . . 10
24 disjsn 3621 . . . . . . . . . 10
2523, 24sylibr 133 . . . . . . . . 9
26 eqidd 2158 . . . . . . . . 9
27 simpllr 524 . . . . . . . . . 10
28 unsnfi 6860 . . . . . . . . . 10
2927, 22, 23, 28syl3anc 1220 . . . . . . . . 9
30 simp-4l 531 . . . . . . . . . 10
31 simplrl 525 . . . . . . . . . . . 12
3222eldifad 3113 . . . . . . . . . . . . 13
3332snssd 3701 . . . . . . . . . . . 12
3431, 33unssd 3283 . . . . . . . . . . 11
3534sselda 3128 . . . . . . . . . 10
36 simplr 520 . . . . . . . . . 10
3715adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
3817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
39 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . 14
40 cnf2 12576 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
4137, 38, 39, 40syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13
42 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . 14
4342fmpt 5616 . . . . . . . . . . . . 13
4441, 43sylibr 133 . . . . . . . . . . . 12
45 rsp 2504 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11
4746imp 123 . . . . . . . . . 10
4830, 35, 36, 47syl21anc 1219 . . . . . . . . 9
4925, 26, 29, 48fsumsplit 11297 . . . . . . . 8
50 simplll 523 . . . . . . . . . . . 12
51 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
5246impancom 258 . . . . . . . . . . . . 13
5352ralrimiv 2529 . . . . . . . . . . . 12
5450, 51, 53syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11
55 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . 13
5655nfel1 2310 . . . . . . . . . . . 12
57 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . 13
5857eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . 12
5956, 58rspc 2810 . . . . . . . . . . 11
6032, 54, 59sylc 62 . . . . . . . . . 10
61 sumsns 11305 . . . . . . . . . 10
6222, 60, 61syl2anc 409 . . . . . . . . 9
6362oveq2d 5837 . . . . . . . 8
6449, 63eqtrd 2190 . . . . . . 7
6564mpteq2dva 4054 . . . . . 6
6665adantr 274 . . . . 5
67 nfcv 2299 . . . . . 6
68 nfcv 2299 . . . . . . . 8
69 nfcsb1v 3064 . . . . . . . 8
7068, 69nfsum 11247 . . . . . . 7
71 nfcv 2299 . . . . . . 7
72 nfcv 2299 . . . . . . . 8
7372, 69nfcsb 3068 . . . . . . 7
7470, 71, 73nfov 5848 . . . . . 6
75 csbeq1a 3040 . . . . . . . 8
7675sumeq2ad 11259 . . . . . . 7
7775csbeq2dv 3057 . . . . . . 7
7876, 77oveq12d 5839 . . . . . 6
7967, 74, 78cbvmpt 4059 . . . . 5
8066, 79eqtrdi 2206 . . . 4
8115ad3antrrr 484 . . . . 5 TopOn
82 nfcv 2299 . . . . . . 7
8382, 70, 76cbvmpt 4059 . . . . . 6
84 simpr 109 . . . . . 6
8583, 84eqeltrrid 2245 . . . . 5
86 nfcv 2299 . . . . . . 7
8786, 73, 77cbvmpt 4059 . . . . . 6
88 simprr 522 . . . . . . . . 9
8988eldifad 3113 . . . . . . . 8
9089adantr 274 . . . . . . 7
9139ralrimiva 2530 . . . . . . . 8
9291ad3antrrr 484 . . . . . . 7
93 nfcv 2299 . . . . . . . . . 10
9493, 55nfmpt 4056 . . . . . . . . 9
9594nfel1 2310 . . . . . . . 8
9657mpteq2dv 4055 . . . . . . . . 9
9796eleq1d 2226 . . . . . . . 8
9895, 97rspc 2810 . . . . . . 7
9990, 92, 98sylc 62 . . . . . 6
10087, 99eqeltrrid 2245 . . . . 5
10116addcncntop 12923 . . . . . 6
102101a1i 9 . . . . 5
10381, 85, 100, 102cnmpt12f 12657 . . . 4
10480, 103eqeltrd 2234 . . 3
105104ex 114 . 2
106 fsumcn.5 . 2
1073, 6, 9, 12, 21, 105, 106findcard2sd 6834 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  csb 3031   cdif 3099   cun 3100   cin 3101   wss 3102  c0 3394  csn 3560   cmpt 4025   ccom 4589  wf 5165  cfv 5169  (class class class)co 5821  cfn 6682  cc 7724  cc0 7726   caddc 7729   cmin 8040  cabs 10890  csu 11243  cmopn 12356  TopOnctopon 12379   ccn 12556   ctx 12623 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846  ax-addf 7848 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-map 6592  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6924  df-inf 6925  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-xneg 9672  df-xadd 9673  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244  df-topgen 12343  df-psmet 12358  df-xmet 12359  df-met 12360  df-bl 12361  df-mopn 12362  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-cn 12559  df-cnp 12560  df-tx 12624 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator