Theorem fsumcncntop 13987

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcncntop.3	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcncntop	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcncntop

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11358	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	mpteq2dv 4094	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
3	2	eleq1d 2246	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
4		sumeq1 11358	. . . 4 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
5	4	mpteq2dv 4094	. . 3 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
6	5	eleq1d 2246	. 2 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
7		sumeq1 11358	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
8	7	mpteq2dv 4094	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
9	8	eleq1d 2246	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
10		sumeq1 11358	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
11	10	mpteq2dv 4094	. . 3 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
12	11	eleq1d 2246	. 2 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
13		sum0 11391	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
14	13	mpteq2i 4090	. . 3 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
15		fsumcn.4	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
16		fsumcncntop.3	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
17	16	cntoptopon 13963	. . . . 5 |- K e. (TopOn ` CC )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		0cnd 7949	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
20	15, 18, 19	cnmptc 13713	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
21	14, 20	eqeltrid 2264	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
22		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. ( A \ y ) )
23	22	eldifbd 3141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> -. z e. y )
24		disjsn 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
26		eqidd 2178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
27		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y e. Fin )
28		unsnfi 6917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ z e. ( A \ y ) /\ -. z e. y ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
29	27, 22, 23, 28	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
30		simp-4l 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
31		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> y C_ A )
32	22	eldifad 3140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> z e. A )
33	32	snssd 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> { z } C_ A )
34	31, 33	unssd 3311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
35	34	sselda 3155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
36		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
37	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
38	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
39		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
40		cnf2 13636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
42		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
43	42	fmpt 5666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
44	41, 43	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
45		rsp 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
47	46	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
48	30, 35, 36, 47	syl21anc 1237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
49	25, 26, 29, 48	fsumsplit 11410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
50		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ph )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
52	46	impancom 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
53	52	ralrimiv 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
54	50, 51, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
55		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
56	55	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
57		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
58	57	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
59	56, 58	rspc 2835	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
60	32, 54, 59	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
61		sumsns 11418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ( A \ y ) /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
62	22, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
63	62	oveq2d 5890	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
64	49, 63	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
65	64	mpteq2dva 4093	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
67		nfcv 2319	. . . . . 6 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
68		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
69		nfcsb1v 3090	. . . . . . . 8 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
70	68, 69	nfsum 11360	. . . . . . 7 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
71		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ x +
72		nfcv 2319	. . . . . . . 8 |- F/_ x z
73	72, 69	nfcsb 3094	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
74	70, 71, 73	nfov 5904	. . . . . 6 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
75		csbeq1a 3066	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
76	75	sumeq2ad 11372	. . . . . . 7 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
77	75	csbeq2dv 3083	. . . . . . 7 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
78	76, 77	oveq12d 5892	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
79	67, 74, 78	cbvmpt 4098	. . . . 5 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
80	66, 79	eqtrdi 2226	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
81	15	ad3antrrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
82		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ w sum_ k e. y B
83	82, 70, 76	cbvmpt 4098	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
84		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
85	83, 84	eqeltrrid 2265	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
86		nfcv 2319	. . . . . . 7 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
87	86, 73, 77	cbvmpt 4098	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
88		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
89	88	eldifad 3140	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
90	89	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> z e. A )
91	39	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
92	91	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
93		nfcv 2319	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k X
94	93, 55	nfmpt 4095	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
95	94	nfel1 2330	. . . . . . . 8 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
96	57	mpteq2dv 4094	. . . . . . . . 9 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
97	96	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
98	95, 97	rspc 2835	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
99	90, 92, 98	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
100	87, 99	eqeltrrid 2265	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
101	16	addcncntop 13983	. . . . . 6 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
102	101	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
103	81, 85, 100, 102	cnmpt12f 13717	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
104	80, 103	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
105	104	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
106		fsumcn.5	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
107	3, 6, 9, 12, 21, 105, 106	findcard2sd 6891	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057   \ cdif 3126   u. cun 3127   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   |-> cmpt 4064   o. ccom 4630   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Fincfn 6739   CCcc 7808   0cc0 7810   + caddc 7813   - cmin 8126   abscabs 11001   sum_csu 11356   MetOpencmopn 13376  TopOnctopon 13441   Cn ccn 13616   tX ctx 13683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357  df-topgen 12703  df-psmet 13378  df-xmet 13379  df-met 13380  df-bl 13381  df-mopn 13382  df-top 13429  df-topon 13442  df-bases 13474  df-cn 13619  df-cnp 13620  df-tx 13684

This theorem is referenced by: (None)