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Theorem fsumcncntop 14059
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for  B normally contains free variables  k and  x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcncntop.3  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
fsumcn.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
fsumcn.5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
fsumcncntop  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, k, A   
k, J, x    ph, k, x    k, K, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)

Proof of Theorem fsumcncntop
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11363 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
21mpteq2dv 4095 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B ) )
32eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
4 sumeq1 11363 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  y  B )
54mpteq2dv 4095 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )
)
65eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
7 sumeq1 11363 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
87mpteq2dv 4095 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
98eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
10 sumeq1 11363 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
1110mpteq2dv 4095 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  B )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  A  B )
)
1211eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
13 sum0 11396 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
1413mpteq2i 4091 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( x  e.  X  |->  0 )
15 fsumcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
16 fsumcncntop.3 . . . . . 6  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1716cntoptopon 14035 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1817a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
19 0cnd 7950 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2015, 18, 19cnmptc 13785 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  0 )  e.  ( J  Cn  K ) )
2114, 20eqeltrid 2264 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  (/)  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
22 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
2322eldifbd 3142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  -.  z  e.  y )
24 disjsn 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
2523, 24sylibr 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  i^i  { z } )  =  (/) )
26 eqidd 2178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  u.  { z } )  =  ( y  u.  { z } ) )
27 simpllr 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  y  e.  Fin )
28 unsnfi 6918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  e.  ( A  \  y )  /\  -.  z  e.  y )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
2927, 22, 23, 28syl3anc 1238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
30 simp-4l 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ph )
31 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  y  C_  A )
3222eldifad 3141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  A )
3332snssd 3738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  { z }  C_  A )
3431, 33unssd 3312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
3534sselda 3156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  A
)
36 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  x  e.  X
)
3715adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  CC )
)
39 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
40 cnf2 13708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
42 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
4342fmpt 5667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> CC )
4441, 43sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A. x  e.  X  B  e.  CC )
45 rsp 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  CC  ->  ( x  e.  X  ->  B  e.  CC ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X  ->  B  e.  CC )
)
4746imp 124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
4830, 35, 36, 47syl21anc 1237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  B  e.  CC )
4925, 26, 29, 48fsumsplit 11415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  { z } B ) )
50 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
51 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
5246impancom 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  A  ->  B  e.  CC )
)
5352ralrimiv 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5450, 51, 53syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
55 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
5655nfel1 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  CC
57 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
5857eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
5956, 58rspc 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6032, 54, 59sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )
61 sumsns 11423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  y )  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
z } B  = 
[_ z  /  k ]_ B )
6222, 60, 61syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  sum_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B )
6362oveq2d 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  sum_ k  e.  {
z } B )  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
6449, 63eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )
6564mpteq2dva 4094 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
6665adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
67 nfcv 2319 . . . . . 6  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B
)
68 nfcv 2319 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
69 nfcsb1v 3091 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
7068, 69nfsum 11365 . . . . . . 7  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
71 nfcv 2319 . . . . . . 7  |-  F/_ x  +
72 nfcv 2319 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
z
7372, 69nfcsb 3095 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B
7470, 71, 73nfov 5905 . . . . . 6  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
75 csbeq1a 3067 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
7675sumeq2ad 11377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)
7775csbeq2dv 3084 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
7876, 77oveq12d 5893 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
7967, 74, 78cbvmpt 4099 . . . . 5  |-  ( x  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y  B  +  [_ z  /  k ]_ B ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )
8066, 79eqtrdi 2226 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( w  e.  X  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) ) )
8115ad3antrrr 492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
82 nfcv 2319 . . . . . . 7  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  B
8382, 70, 76cbvmpt 4099 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ( w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B )
84 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
8583, 84eqeltrrid 2265 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
w  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
86 nfcv 2319 . . . . . . 7  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ B
8786, 73, 77cbvmpt 4099 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  =  ( w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )
88 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
8988eldifad 3141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
9089adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  z  e.  A )
9139ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
9291ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
93 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k X
9493, 55nfmpt 4096 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )
9594nfel1 2330 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K )
9657mpteq2dv 4095 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
) )
9796eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( x  e.  X  |-> 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
9895, 97rspc 2836 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
9990, 92, 98sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  ( J  Cn  K ) )
10087, 99eqeltrrid 2265 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
w  e.  X  |->  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B )  e.  ( J  Cn  K ) )
10116addcncntop 14055 . . . . . 6  |-  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
102101a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  +  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
) )
10381, 85, 100, 102cnmpt12f 13789 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
w  e.  X  |->  (
sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ B  +  [_ z  /  k ]_ [_ w  /  x ]_ B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
10480, 103eqeltrd 2254 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  e.  ( J  Cn  K
) )
105104ex 115 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  y  B )  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( x  e.  X  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
106 fsumcn.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1073, 6, 9, 12, 21, 105, 106findcard2sd 6892 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  A  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3058    \ cdif 3127    u. cun 3128    i^i cin 3129    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593    |-> cmpt 4065    o. ccom 4631   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Fincfn 6740   CCcc 7809   0cc0 7811    + caddc 7814    - cmin 8128   abscabs 11006   sum_csu 11361   MetOpencmopn 13448  TopOnctopon 13513    Cn ccn 13688    tX ctx 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-addf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756
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