Theorem unssd 3405

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
unssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
unssd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
2		unssd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		unss 3403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
5	1, 2, 4	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  tpssi  3884  casef  7429  un0addcl  9601  un0mulcl  9602  fzosplit  10597  fzouzsplit  10599  hashf1lem1  11301  hashf1lem2  11302  ccatrn  11393  4sqlem11  13203  4sqlem19  13211  exmidunben  13369  strleund  13510  gsumclfi  14243  gsummptfidmadd  14245  gsumsubmclfi  14247  lsptpcl  14815  lspun  14823  fsumcncntop  15759  plyf  15929  elplyr  15932  elplyd  15933  ply1term  15935  plyaddlem  15941  plymullem  15942  plycolemc  15950  plycjlemc  15952  plycj  15953  plycn  15954  dvply2g  15958  perfectlem2  16261  bj-charfun  16999  bj-omtrans  17148