Theorem unssd 3383

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
unssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
unssd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
2		unssd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		unss 3381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  tpssi  3842  casef  7287  un0addcl  9435  un0mulcl  9436  fzosplit  10414  fzouzsplit  10416  ccatrn  11190  4sqlem11  12992  4sqlem19  13000  exmidunben  13065  strleund  13204  lsptpcl  14427  lspun  14435  fsumcncntop  15310  plyf  15480  elplyr  15483  elplyd  15484  ply1term  15486  plyaddlem  15492  plymullem  15493  plycolemc  15501  plycjlemc  15503  plycj  15504  plycn  15505  dvply2g  15509  perfectlem2  15743  bj-charfun  16453  bj-omtrans  16602  gfsumcl  16739