Theorem unssd 3383

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
unssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
unssd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
2		unssd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		unss 3381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)
5	1, 2, 4	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  tpssi  3842  casef  7286  un0addcl  9434  un0mulcl  9435  fzosplit  10413  fzouzsplit  10415  ccatrn  11185  4sqlem11  12973  4sqlem19  12981  exmidunben  13046  strleund  13185  lsptpcl  14407  lspun  14415  fsumcncntop  15290  plyf  15460  elplyr  15463  elplyd  15464  ply1term  15466  plyaddlem  15472  plymullem  15473  plycolemc  15481  plycjlemc  15483  plycj  15484  plycn  15485  dvply2g  15489  perfectlem2  15723  bj-charfun  16402  bj-omtrans  16551