ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strleund Unicode version

Theorem strleund 12561
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strleund.f  |-  ( ph  ->  F Struct  <. A ,  B >. )
strleund.g  |-  ( ph  ->  G Struct  <. C ,  D >. )
strleund.l  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
strleund  |-  ( ph  ->  ( F  u.  G
) Struct  <. A ,  D >. )

Proof of Theorem strleund
StepHypRef Expression
1 strleund.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F Struct  <. A ,  B >. )
2 isstructim 12475 . . . . 5  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  -> 
( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) ) )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) ) )
43simp1d 1009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B ) )
54simp1d 1009 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
6 strleund.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G Struct  <. C ,  D >. )
7 isstructim 12475 . . . . 5  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  -> 
( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) ) )
86, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) ) )
98simp1d 1009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D ) )
109simp2d 1010 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
115nnred 8931 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
129simp1d 1009 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
1312nnred 8931 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1410nnred 8931 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
154simp2d 1010 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
1615nnred 8931 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
174simp3d 1011 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
18 strleund.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
1916, 13, 18ltled 8075 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
2011, 16, 13, 17, 19letrd 8080 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
219simp3d 1011 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
2211, 13, 14, 20, 21letrd 8080 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  D )
233simp2d 1010 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  \  { (/) } ) )
248simp2d 1010 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
25 difss 3261 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
26 dmss 4826 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
2725, 26mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( F  \  { (/) } )  C_  dom  F )
283simp3d 1011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  ( A ... B ) )
2927, 28sstrd 3165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B ) )
30 difss 3261 . . . . . . . 8  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
31 dmss 4826 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3230, 31mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( G  \  { (/) } )  C_  dom  G )
338simp3d 1011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  C_  ( C ... D ) )
3432, 33sstrd 3165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( G  \  { (/) } )  C_  ( C ... D ) )
35 ss2in 3363 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
3629, 34, 35syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
37 fzdisj 10051 . . . . . 6  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
3818, 37syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
39 sseq0 3464 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4036, 38, 39syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
41 funun 5260 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4223, 24, 40, 41syl21anc 1237 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
43 difundir 3388 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4443funeqi 5237 . . 3  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4542, 44sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/) } ) )
46 structex 12473 . . . 4  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  ->  F  e.  _V )
471, 46syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
48 structex 12473 . . . 4  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  ->  G  e.  _V )
496, 48syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
50 unexg 4443 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  u.  G
)  e.  _V )
5147, 49, 50syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  u.  G
)  e.  _V )
52 dmun 4834 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5315nnzd 9373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5410nnzd 9373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
5516, 13, 14, 19, 21letrd 8080 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
56 eluz2 9533 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
5753, 54, 55, 56syl3anbrc 1181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )
58 fzss2 10063 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
5957, 58syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ... B
)  C_  ( A ... D ) )
6028, 59sstrd 3165 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  ( A ... D ) )
615nnzd 9373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
6212nnzd 9373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
63 eluz2 9533 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6461, 62, 20, 63syl3anbrc 1181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A ) )
65 fzss1 10062 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
6664, 65syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C ... D
)  C_  ( A ... D ) )
6733, 66sstrd 3165 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  C_  ( A ... D ) )
6860, 67unssd 3311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  F  u.  dom  G )  C_  ( A ... D ) )
6952, 68eqsstrid 3201 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D ) )
70 isstructr 12476 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/) } )  /\  ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )  ->  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >. )
715, 10, 22, 45, 51, 69, 70syl33anc 1253 1  |-  ( ph  ->  ( F  u.  G
) Struct  <. A ,  D >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    u. cun 3127    i^i cin 3128    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   <.cop 3595   class class class wbr 4003   dom cdm 4626   Fun wfun 5210   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    < clt 7991    <_ cle 7992   NNcn 8918   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ...cfz 10007   Struct cstr 12457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-struct 12463
This theorem is referenced by:  strle2g  12565  strle3g  12566  srngstrd  12603  lmodstrd  12621  ipsstrd  12633
  Copyright terms: Public domain W3C validator