Theorem un0addcl 9434

Description: If S is closed under addition, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0addcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2298	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3348	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 184	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2298	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3348	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3370	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtrri 3262	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )
11	9, 10	sselid 3225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. T )
12	11	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 3227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	addlidd 8328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) = N )
16	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ T )
17	16	sselda 3227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. T )
18	15, 17	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) e. T )
19		elsni 3687	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
20	19	oveq1d 6032	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M + N ) = ( 0 + N ) )
21	20	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( 0 + N ) e. T ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
23	22	impancom 260	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
24	12, 23	jaodan 804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
25	7, 24	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
26		0cnd 8171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
27	26	snssd 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
28	13, 27	unssd 3383	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
29	1, 28	eqsstrid 3273	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
30	29	sselda 3227	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
31	30	addridd 8327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) = M )
32		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. T )
33	31, 32	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) e. T )
34		elsni 3687	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
35	34	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
36	35	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( M + 0 ) e. T ) )
37	33, 36	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
38	25, 37	jaod 724	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M + N ) e. T ) )
39	4, 38	biimtrid 152	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M + N ) e. T ) )
40	39	impr 379	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   C_ wss 3200   {csn 3669  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   + caddc 8034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020

This theorem is referenced by:  nn0addcl  9436  plyaddlem  15472  plymullem  15473