Theorem un0addcl 9034

Description: If S is closed under addition, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- ( ph -> S C_ CC )
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 } )
un0addcl.3	|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 } )
2	1	eleq2i 2207	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) )
3		elun 3222	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
4	2, 3	bitri 183	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) )
5	1	eleq2i 2207	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) )
6		elun 3222	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) )
8		ssun1 3244	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 } )
9	8, 1	sseqtrri 3137	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S )
11	9, 10	sseldi 3100	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. T )
12	11	expr 373	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
14	13	sselda 3102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC )
15	14	addid2d 7936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) = N )
16	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ T )
17	16	sselda 3102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. T )
18	15, 17	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) e. T )
19		elsni 3550	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0 )
20	19	oveq1d 5797	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M + N ) = ( 0 + N ) )
21	20	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( 0 + N ) e. T ) )
22	18, 21	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
23	22	impancom 258	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
24	12, 23	jaodan 787	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
25	7, 24	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) )
26		0cnd 7783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
27	26	snssd 3673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
28	13, 27	unssd 3257	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
29	1, 28	eqsstrid 3148	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T C_ CC )
30	29	sselda 3102	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC )
31	30	addid1d 7935	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) = M )
32		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. T )
33	31, 32	eqeltrd 2217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) e. T )
34		elsni 3550	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0 )
35	34	oveq2d 5798	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
36	35	eleq1d 2209	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( M + 0 ) e. T ) )
37	33, 36	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) )
38	25, 37	jaod 707	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M + N ) e. T ) )
39	4, 38	syl5bi 151	. 2 |- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M + N ) e. T ) )
40	39	impr 377	1 |- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   C_ wss 3076   {csn 3532  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785

This theorem is referenced by:  nn0addcl  9036