ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzouzsplit Unicode version

Theorem fzouzsplit 9963
Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzsplit  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  A )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B
) ) )

Proof of Theorem fzouzsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9342 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
2 eluzelz 9342 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  x  e.  ZZ )
3 zlelttric 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  x  \/  x  <  B ) )
41, 2, 3syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( B  <_  x  \/  x  < 
B ) )
54orcomd 718 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  <  B  \/  B  <_  x ) )
6 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)
7 elfzo2 9934 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A..^ B
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ  /\  x  <  B ) )
8 df-3an 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ  /\  x  < 
B )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ )  /\  x  <  B ) )
97, 8bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A..^ B
)  <->  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  B  e.  ZZ )  /\  x  <  B ) )
109baib 904 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( A..^ B )  <->  x  <  B ) )
116, 1, 10syl2anr 288 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  e.  ( A..^ B )  <-> 
x  <  B )
)
12 eluz 9346 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  B )  <->  B  <_  x ) )
131, 2, 12syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  B  <_  x ) )
1411, 13orbi12d 782 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( (
x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  ( x  < 
B  \/  B  <_  x ) ) )
155, 14mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  (
ZZ>= `  B ) ) )
1615ex 114 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  ( ZZ>= `  B ) ) ) )
17 elun 3217 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>=
`  B ) )  <-> 
( x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
1816, 17syl6ibr 161 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  x  e.  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B )
) ) )
1918ssrdv 3103 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  A )  C_  (
( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B
) ) )
20 elfzouz 9935 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A..^ B
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)
2120ssriv 3101 . . . 4  |-  ( A..^ B )  C_  ( ZZ>=
`  A )
2221a1i 9 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ B )  C_  ( ZZ>=
`  A ) )
23 uzss 9353 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  B )  C_  ( ZZ>=
`  A ) )
2422, 23unssd 3252 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>=
`  B ) ) 
C_  ( ZZ>= `  A
) )
2519, 24eqssd 3114 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  A )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    u. cun 3069    C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    < clt 7807    <_ cle 7808   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333  ..^cfzo 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927
This theorem is referenced by:  zsupcllemstep  11644
  Copyright terms: Public domain W3C validator