Theorem fzouzsplit 10255

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9610	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
2		eluzelz 9610	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ZZ )
3		zlelttric 9371	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
5	4	orcomd 730	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x < B \/ B <_ x ) )
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
7		elfzo2 10225	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) )
8		df-3an 982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
10	9	baib 920	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
11	6, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
12		eluz 9614	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
13	1, 2, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
14	11, 13	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x < B \/ B <_ x ) ) )
15	5, 14	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
16	15	ex 115	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
17		elun 3304	. . . 4 |- ( x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	16, 17	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
19	18	ssrdv 3189	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) C_ ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )
20		elfzouz 10226	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
21	20	ssriv 3187	. . . 4 |- ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
23		uzss 9622	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
24	22, 23	unssd 3339	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
25	19, 24	eqssd 3200	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   < clt 8061   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601  ..^cfzo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by:  zsupcllemstep  10319  xnn0nnen  10529