Theorem fzouzsplit 10249

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9604	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
2		eluzelz 9604	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ZZ )
3		zlelttric 9365	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
5	4	orcomd 730	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x < B \/ B <_ x ) )
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
7		elfzo2 10219	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) )
8		df-3an 982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
10	9	baib 920	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
11	6, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
12		eluz 9608	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
13	1, 2, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
14	11, 13	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x < B \/ B <_ x ) ) )
15	5, 14	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
16	15	ex 115	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
17		elun 3301	. . . 4 |- ( x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	16, 17	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
19	18	ssrdv 3186	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) C_ ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )
20		elfzouz 10220	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
21	20	ssriv 3184	. . . 4 |- ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
23		uzss 9616	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
24	22, 23	unssd 3336	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
25	19, 24	eqssd 3197	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   < clt 8056   <_ cle 8057   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595  ..^cfzo 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10511  zsupcllemstep  12085