ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzouzsplit Unicode version

Theorem fzouzsplit 10078
Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzsplit  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  A )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B
) ) )

Proof of Theorem fzouzsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9448 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
2 eluzelz 9448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  x  e.  ZZ )
3 zlelttric 9212 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  x  \/  x  <  B ) )
41, 2, 3syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( B  <_  x  \/  x  < 
B ) )
54orcomd 719 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  <  B  \/  B  <_  x ) )
6 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)
7 elfzo2 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A..^ B
)  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ  /\  x  <  B ) )
8 df-3an 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ  /\  x  < 
B )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ )  /\  x  <  B ) )
97, 8bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A..^ B
)  <->  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  B  e.  ZZ )  /\  x  <  B ) )
109baib 905 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( A..^ B )  <->  x  <  B ) )
116, 1, 10syl2anr 288 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  e.  ( A..^ B )  <-> 
x  <  B )
)
12 eluz 9452 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  B )  <->  B  <_  x ) )
131, 2, 12syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  B  <_  x ) )
1411, 13orbi12d 783 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( (
x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  ( x  < 
B  \/  B  <_  x ) ) )
155, 14mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  (
ZZ>= `  B ) ) )
1615ex 114 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  ( ZZ>= `  B ) ) ) )
17 elun 3248 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>=
`  B ) )  <-> 
( x  e.  ( A..^ B )  \/  x  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
1816, 17syl6ibr 161 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  x  e.  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B )
) ) )
1918ssrdv 3134 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  A )  C_  (
( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B
) ) )
20 elfzouz 10050 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A..^ B
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  A )
)
2120ssriv 3132 . . . 4  |-  ( A..^ B )  C_  ( ZZ>=
`  A )
2221a1i 9 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ B )  C_  ( ZZ>=
`  A ) )
23 uzss 9459 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  B )  C_  ( ZZ>=
`  A ) )
2422, 23unssd 3283 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>=
`  B ) ) 
C_  ( ZZ>= `  A
) )
2519, 24eqssd 3145 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  A )  =  ( ( A..^ B )  u.  ( ZZ>= `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128    u. cun 3100    C_ wss 3102   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    < clt 7912    <_ cle 7913   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439  ..^cfzo 10041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913  df-fzo 10042
This theorem is referenced by:  zsupcllemstep  11831
  Copyright terms: Public domain W3C validator