Theorem fzouzsplit 10318

Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzsplit	|- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem fzouzsplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9672	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
2		eluzelz 9672	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ZZ )
3		zlelttric 9432	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( B <_ x \/ x < B ) )
5	4	orcomd 731	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x < B \/ B <_ x ) )
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
7		elfzo2 10287	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) )
8		df-3an 983	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ /\ x < B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A..^ B ) <-> ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) /\ x < B ) )
10	9	baib 921	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` A ) /\ B e. ZZ ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
11	6, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) <-> x < B ) )
12		eluz 9676	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
13	1, 2, 12	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` B ) <-> B <_ x ) )
14	11, 13	orbi12d 795	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x < B \/ B <_ x ) ) )
15	5, 14	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ x e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
16	15	ex 115	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
17		elun 3318	. . . 4 |- ( x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) <-> ( x e. ( A..^ B ) \/ x e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	16, 17	imbitrrdi 162	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( x e. ( ZZ>= ` A ) -> x e. ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) ) )
19	18	ssrdv 3203	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) C_ ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )
20		elfzouz 10288	. . . . 5 |- ( x e. ( A..^ B ) -> x e. ( ZZ>= ` A ) )
21	20	ssriv 3201	. . . 4 |- ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A )
22	21	a1i 9	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
23		uzss 9684	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` B ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
24	22, 23	unssd 3353	. 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` A ) )
25	19, 24	eqssd 3214	1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ( A..^ B ) u. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   u. cun 3168   C_ wss 3170   class class class wbr 4050   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   < clt 8122   <_ cle 8123   ZZcz 9387   ZZ>=cuz 9663  ..^cfzo 10279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280

This theorem is referenced by:  zsupcllemstep  10389  xnn0nnen  10599