ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplit Unicode version

Theorem fzosplit 9947
Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplit  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )

Proof of Theorem fzosplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( B..^ C ) )
2 elfzelz 9799 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ZZ )
32adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  D  e.  ZZ )
4 fzospliti 9946 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
51, 3, 4syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  -> 
( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
6 elun 3212 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) )  <->  ( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
75, 6sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) ) )
87ex 114 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
x  e.  ( B..^ C )  ->  x  e.  ( ( B..^ D
)  u.  ( D..^ C ) ) ) )
98ssrdv 3098 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  C_  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
10 elfzuz3 9796 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  D )
)
11 fzoss2 9942 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  D
)  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
13 elfzuz 9795 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
14 fzoss1 9941 . . . 4  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1612, 15unssd 3247 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) )  C_  ( B..^ C ) )
179, 16eqssd 3109 1  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480    u. cun 3064    C_ wss 3066   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ...cfz 9783  ..^cfzo 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913
This theorem is referenced by:  fzosplitsnm1  9979  fzo0to42pr  9990  fzo0sn0fzo1  9991  fzosplitsn  10003
  Copyright terms: Public domain W3C validator