Theorem fzosplit 10371

Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplit	|- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) = ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )

Proof of Theorem fzosplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> x e. ( B..^ C ) )
2		elfzelz 10217	. . . . . . 7 |- ( D e. ( B ... C ) -> D e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> D e. ZZ )
4		fzospliti 10370	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
6		elun 3345	. . . . 5 |- ( x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) <-> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )
8	7	ex 115	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( x e. ( B..^ C ) -> x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) ) )
9	8	ssrdv 3230	. 2 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) C_ ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )
10		elfzuz3 10214	. . . 4 |- ( D e. ( B ... C ) -> C e. ( ZZ>= ` D ) )
11		fzoss2 10366	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` D ) -> ( B..^ D ) C_ ( B..^ C ) )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ D ) C_ ( B..^ C ) )
13		elfzuz 10213	. . . 4 |- ( D e. ( B ... C ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
14		fzoss1 10365	. . . 4 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( D..^ C ) C_ ( B..^ C ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( D..^ C ) C_ ( B..^ C ) )
16	12, 15	unssd 3380	. 2 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) C_ ( B..^ C ) )
17	9, 16	eqssd 3241	1 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) = ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   C_ wss 3197   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200  ..^cfzo 10334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335

This theorem is referenced by:  fzoun  10375  fzosplitsnm1  10410  fzo0to42pr  10421  fzo0sn0fzo1  10422  fzosplitsn  10434  ccatrn  11139  pfxsuffeqwrdeq  11225