ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosplit Unicode version

Theorem fzosplit 10206
Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplit  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )

Proof of Theorem fzosplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( B..^ C ) )
2 elfzelz 10054 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ZZ )
32adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  D  e.  ZZ )
4 fzospliti 10205 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
51, 3, 4syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  -> 
( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
6 elun 3291 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) )  <->  ( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
75, 6sylibr 134 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) ) )
87ex 115 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
x  e.  ( B..^ C )  ->  x  e.  ( ( B..^ D
)  u.  ( D..^ C ) ) ) )
98ssrdv 3176 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  C_  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
10 elfzuz3 10051 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  D )
)
11 fzoss2 10201 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  D
)  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
1210, 11syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
13 elfzuz 10050 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
14 fzoss1 10200 . . . 4  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1612, 15unssd 3326 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) )  C_  ( B..^ C ) )
179, 16eqssd 3187 1  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160    u. cun 3142    C_ wss 3144   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557   ...cfz 10037  ..^cfzo 10171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038  df-fzo 10172
This theorem is referenced by:  fzosplitsnm1  10238  fzo0to42pr  10249  fzo0sn0fzo1  10250  fzosplitsn  10262
  Copyright terms: Public domain W3C validator