Theorem fzosplit 10603

Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplit	|- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) = ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )

Proof of Theorem fzosplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> x e. ( B..^ C ) )
2		elfzelz 10445	. . . . . . 7 |- ( D e. ( B ... C ) -> D e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> D e. ZZ )
4		fzospliti 10602	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
6		elun 3370	. . . . 5 |- ( x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) <-> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )
8	7	ex 115	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( x e. ( B..^ C ) -> x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) ) )
9	8	ssrdv 3254	. 2 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) C_ ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )
10		elfzuz3 10442	. . . 4 |- ( D e. ( B ... C ) -> C e. ( ZZ>= ` D ) )
11		fzoss2 10598	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` D ) -> ( B..^ D ) C_ ( B..^ C ) )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ D ) C_ ( B..^ C ) )
13		elfzuz 10441	. . . 4 |- ( D e. ( B ... C ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
14		fzoss1 10597	. . . 4 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( D..^ C ) C_ ( B..^ C ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( D..^ C ) C_ ( B..^ C ) )
16	12, 15	unssd 3405	. 2 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) C_ ( B..^ C ) )
17	9, 16	eqssd 3265	1 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) = ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428  ..^cfzo 10566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  fzoun  10607  fzosplitsnm1  10644  fzo0to42pr  10655  fzo0sn0fzo1  10656  fzosplitsn  10668  ccatrn  11399  pfxsuffeqwrdeq  11492