Theorem fzosplit 10206

Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplit	|- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) = ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )

Proof of Theorem fzosplit

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> x e. ( B..^ C ) )
2		elfzelz 10054	. . . . . . 7 |- ( D e. ( B ... C ) -> D e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> D e. ZZ )
4		fzospliti 10205	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
6		elun 3291	. . . . 5 |- ( x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) <-> ( x e. ( B..^ D ) \/ x e. ( D..^ C ) ) )
7	5, 6	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( D e. ( B ... C ) /\ x e. ( B..^ C ) ) -> x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )
8	7	ex 115	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( x e. ( B..^ C ) -> x e. ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) ) )
9	8	ssrdv 3176	. 2 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) C_ ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )
10		elfzuz3 10051	. . . 4 |- ( D e. ( B ... C ) -> C e. ( ZZ>= ` D ) )
11		fzoss2 10201	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` D ) -> ( B..^ D ) C_ ( B..^ C ) )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ D ) C_ ( B..^ C ) )
13		elfzuz 10050	. . . 4 |- ( D e. ( B ... C ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
14		fzoss1 10200	. . . 4 |- ( D e. ( ZZ>= ` B ) -> ( D..^ C ) C_ ( B..^ C ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( D..^ C ) C_ ( B..^ C ) )
16	12, 15	unssd 3326	. 2 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) C_ ( B..^ C ) )
17	9, 16	eqssd 3187	1 |- ( D e. ( B ... C ) -> ( B..^ C ) = ( ( B..^ D ) u. ( D..^ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   C_ wss 3144   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557   ...cfz 10037  ..^cfzo 10171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038  df-fzo 10172

This theorem is referenced by:  fzosplitsnm1  10238  fzo0to42pr  10249  fzo0sn0fzo1  10250  fzosplitsn  10262