Theorem 0ss 3561

Description: The empty set is a subset of any class. Dual of ssv 3270. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 655	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3252	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  ss0b  3562  ssdifeq0  3610  sssnr  3876  ssprr  3879  uni0  3960  int0el  3998  0disj  4125  disjx0  4127  tr0  4238  0elpw  4299  exmidsssn  4337  fr0  4494  elomssom  4750  rel0  4900  0ima  5145  fun0  5437  f0  5581  el2oss1o  6710  oaword1  6738  0domg  7131  nnnninf  7460  exmidfodomrlemim  7547  pw1on  7579  fzowrddc  11402  swrd00g  11404  swrdlend  11413  sum0  12138  prod0  12335  0bits  12709  ennnfonelemj0  13275  ennnfonelemkh  13286  lsp0  14743  lss0v  14750  0opn  15090  baspartn  15134  0cld  15196  ntr0  15218  egrsubgr  16487  0grsubgr  16488  0uhgrsubgr  16489  bdeq0  16876  bj-omtrans  16965  nninfsellemsuc  17029  nnnninfex  17039