Theorem 0ss 3535

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3500	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3232	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497

This theorem is referenced by:  ss0b  3536  ssdifeq0  3579  sssnr  3841  ssprr  3844  uni0  3925  int0el  3963  0disj  4090  disjx0  4092  tr0  4203  0elpw  4260  exmidsssn  4298  fr0  4454  elomssom  4709  rel0  4858  0ima  5103  fun0  5395  f0  5536  el2oss1o  6654  oaword1  6682  0domg  7066  nnnninf  7368  exmidfodomrlemim  7455  pw1on  7487  fzowrddc  11275  swrd00g  11277  swrdlend  11286  sum0  12010  prod0  12207  0bits  12581  ennnfonelemj0  13083  ennnfonelemkh  13094  lsp0  14499  lss0v  14506  0opn  14797  baspartn  14841  0cld  14903  ntr0  14925  egrsubgr  16184  0grsubgr  16185  0uhgrsubgr  16186  bdeq0  16563  bj-omtrans  16652  nninfsellemsuc  16718  nnnninfex  16728