Theorem 0ss 3546

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3511	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3241	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-dif 3212  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508

This theorem is referenced by:  ss0b  3547  ssdifeq0  3591  sssnr  3856  ssprr  3859  uni0  3940  int0el  3978  0disj  4105  disjx0  4107  tr0  4218  0elpw  4276  exmidsssn  4314  fr0  4471  elomssom  4726  rel0  4876  0ima  5121  fun0  5413  f0  5557  el2oss1o  6675  oaword1  6703  0domg  7089  nnnninf  7416  exmidfodomrlemim  7503  pw1on  7535  fzowrddc  11335  swrd00g  11337  swrdlend  11346  sum0  12070  prod0  12267  0bits  12641  ennnfonelemj0  13144  ennnfonelemkh  13155  lsp0  14563  lss0v  14570  0opn  14863  baspartn  14907  0cld  14969  ntr0  14991  egrsubgr  16250  0grsubgr  16251  0uhgrsubgr  16252  bdeq0  16629  bj-omtrans  16718  nninfsellemsuc  16782  nnnninfex  16792