Theorem 0ss 3531

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3496	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 649	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3229	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-dif 3200  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493

This theorem is referenced by:  ss0b  3532  ssdifeq0  3575  sssnr  3834  ssprr  3837  uni0  3918  int0el  3956  0disj  4083  disjx0  4085  tr0  4196  0elpw  4252  exmidsssn  4290  fr0  4446  elomssom  4701  rel0  4850  0ima  5094  fun0  5385  f0  5524  el2oss1o  6606  oaword1  6634  0domg  7018  nnnninf  7319  exmidfodomrlemim  7405  pw1on  7437  fzowrddc  11221  swrd00g  11223  swrdlend  11232  sum0  11942  prod0  12139  0bits  12513  ennnfonelemj0  13015  ennnfonelemkh  13026  lsp0  14430  lss0v  14437  0opn  14723  baspartn  14767  0cld  14829  ntr0  14851  bdeq0  16412  bj-omtrans  16501  nninfsellemsuc  16564  nnnninfex  16574