Theorem 0ss 3530

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3495	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 649	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3228	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  ss0b  3531  ssdifeq0  3574  sssnr  3831  ssprr  3834  uni0  3915  int0el  3953  0disj  4080  disjx0  4082  tr0  4193  0elpw  4249  exmidsssn  4287  fr0  4443  elomssom  4698  rel0  4847  0ima  5091  fun0  5382  f0  5521  el2oss1o  6602  oaword1  6630  0domg  7011  nnnninf  7309  exmidfodomrlemim  7395  pw1on  7427  fzowrddc  11200  swrd00g  11202  swrdlend  11211  sum0  11920  prod0  12117  0bits  12491  ennnfonelemj0  12993  ennnfonelemkh  13004  lsp0  14408  lss0v  14415  0opn  14701  baspartn  14745  0cld  14807  ntr0  14829  bdeq0  16339  bj-omtrans  16428  nninfsellemsuc  16492  nnnninfex  16502