Theorem 0ss 3561

Description: The empty set is a subset of any class. Dual of ssv 3270. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 655	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3252	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521

This theorem is used by:  ss0b  3562  ssdifeq0  3610  sssnr  3878  ssprr  3881  uni0  3962  int0el  4000  0disj  4128  disjx0  4130  tr0  4242  0elpw  4303  exmidsssn  4341  fr0  4498  elomssom  4754  rel0  4904  0ima  5150  fun0  5442  f0  5586  el2oss1o  6720  oaword1  6748  0domg  7142  nnnninf  7473  exmidfodomrlemim  7560  pw1on  7592  indconst0  9312  fzowrddc  11442  swrd00g  11444  swrdlend  11453  sum0  12181  prod0  12378  0bits  12752  ennnfonelemj0  13351  ennnfonelemkh  13362  lsp0  14870  lss0v  14877  0opn  15244  baspartn  15288  0cld  15350  ntr0  15372  egrsubgr  16721  0grsubgr  16722  0uhgrsubgr  16723  bdeq0  17110  bj-omtrans  17199  nninfsellemsuc  17273  nnnninfex  17283