Theorem 0ss 3396

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3362	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 635	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3096	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359

This theorem is referenced by:  ss0b  3397  ssdifeq0  3440  sssnr  3675  ssprr  3678  uni0  3758  int0el  3796  0disj  3921  disjx0  3923  tr0  4032  0elpw  4083  exmidsssn  4120  fr0  4268  elnn  4514  rel0  4659  0ima  4894  fun0  5176  f0  5308  oaword1  6360  0domg  6724  nnnninf  7016  exmidfodomrlemim  7050  sum0  11150  ennnfonelemj0  11903  ennnfonelemkh  11914  0opn  12162  baspartn  12206  0cld  12270  ntr0  12292  bdeq0  13054  bj-omtrans  13143  el2oss1o  13177  nninfsellemsuc  13197