Theorem 0ss 3561

Description: The empty set is a subset of any class. Dual of ssv 3270. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 655	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3252	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521

This theorem is used by:  ss0b  3562  ssdifeq0  3610  sssnr  3878  ssprr  3881  uni0  3962  int0el  4000  0disj  4127  disjx0  4129  tr0  4240  0elpw  4301  exmidsssn  4339  fr0  4496  elomssom  4752  rel0  4902  0ima  5147  fun0  5439  f0  5583  el2oss1o  6716  oaword1  6744  0domg  7137  nnnninf  7467  exmidfodomrlemim  7554  pw1on  7586  indconst0  9305  fzowrddc  11434  swrd00g  11436  swrdlend  11445  sum0  12173  prod0  12370  0bits  12744  ennnfonelemj0  13343  ennnfonelemkh  13354  lsp0  14811  lss0v  14818  0opn  15159  baspartn  15203  0cld  15265  ntr0  15287  egrsubgr  16626  0grsubgr  16627  0uhgrsubgr  16628  bdeq0  17015  bj-omtrans  17104  nninfsellemsuc  17177  nnnninfex  17187