Theorem 0ss 3530

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3495	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 649	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3228	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  ss0b  3531  ssdifeq0  3574  sssnr  3831  ssprr  3834  uni0  3915  int0el  3953  0disj  4080  disjx0  4082  tr0  4193  0elpw  4248  exmidsssn  4286  fr0  4442  elomssom  4697  rel0  4844  0ima  5088  fun0  5379  f0  5518  el2oss1o  6597  oaword1  6625  0domg  7006  nnnninf  7301  exmidfodomrlemim  7387  pw1on  7419  fzowrddc  11187  swrd00g  11189  swrdlend  11198  sum0  11907  prod0  12104  0bits  12478  ennnfonelemj0  12980  ennnfonelemkh  12991  lsp0  14395  lss0v  14402  0opn  14688  baspartn  14732  0cld  14794  ntr0  14816  bdeq0  16254  bj-omtrans  16343  nninfsellemsuc  16408  nnnninfex  16418