Theorem 0ss 3551

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3516	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3246	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513

This theorem is referenced by:  ss0b  3552  ssdifeq0  3596  sssnr  3862  ssprr  3865  uni0  3946  int0el  3984  0disj  4111  disjx0  4113  tr0  4224  0elpw  4282  exmidsssn  4320  fr0  4477  elomssom  4732  rel0  4882  0ima  5127  fun0  5419  f0  5563  el2oss1o  6689  oaword1  6717  0domg  7103  nnnninf  7430  exmidfodomrlemim  7517  pw1on  7549  fzowrddc  11364  swrd00g  11366  swrdlend  11375  sum0  12099  prod0  12296  0bits  12670  ennnfonelemj0  13236  ennnfonelemkh  13247  lsp0  14683  lss0v  14690  0opn  14983  baspartn  15027  0cld  15089  ntr0  15111  egrsubgr  16370  0grsubgr  16371  0uhgrsubgr  16372  bdeq0  16749  bj-omtrans  16838  nninfsellemsuc  16902  nnnninfex  16912