Theorem 0ss 3533

Description: The null set is a subset of any class. Part of Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Proof of Theorem 0ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3498	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	ssriv 3231	1 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495

This theorem is referenced by:  ss0b  3534  ssdifeq0  3577  sssnr  3836  ssprr  3839  uni0  3920  int0el  3958  0disj  4085  disjx0  4087  tr0  4198  0elpw  4254  exmidsssn  4292  fr0  4448  elomssom  4703  rel0  4852  0ima  5096  fun0  5388  f0  5527  el2oss1o  6611  oaword1  6639  0domg  7023  nnnninf  7325  exmidfodomrlemim  7412  pw1on  7444  fzowrddc  11232  swrd00g  11234  swrdlend  11243  sum0  11954  prod0  12151  0bits  12525  ennnfonelemj0  13027  ennnfonelemkh  13038  lsp0  14443  lss0v  14450  0opn  14736  baspartn  14780  0cld  14842  ntr0  14864  egrsubgr  16120  0grsubgr  16121  0uhgrsubgr  16122  bdeq0  16488  bj-omtrans  16577  nninfsellemsuc  16640  nnnninfex  16650