Theorem add12d 8339

Description: Commutative/associative law that swaps the first two terms in a triple sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
add12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) = (𝐵 + (𝐴 + 𝐶)))

Proof of Theorem add12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		add12 8330	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) = (𝐵 + (𝐴 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) = (𝐵 + (𝐴 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8023   + caddc 8028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-addcom 8125  ax-addass 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016

This theorem is referenced by:  subsub2  8400  bdtrilem  11793  pcadd2  12907