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Theorem bdtrilem 11034
Description: Lemma for bdtri 11035. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
bdtrilem (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))

Proof of Theorem bdtrilem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1005 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simp3 983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
32rpred 9506 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
41, 3resubcld 8162 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐶) ∈ ℝ)
54resqcld 10474 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐶)↑2) ∈ ℝ)
6 2re 8809 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
76a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
81recnd 7813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
92rpcnd 9508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
108, 9subcld 8092 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
1110abscld 10977 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
12 simp2l 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
1312recnd 7813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 9subcld 8092 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
1514abscld 10977 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1611, 15remulcld 7815 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
177, 16remulcld 7815 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶)))) ∈ ℝ)
185, 17readdcld 7814 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) ∈ ℝ)
191, 12remulcld 7815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
207, 19remulcld 7815 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
218, 13addcld 7804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2221, 9subcld 8092 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
2322abscld 10977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
243, 23remulcld 7815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
257, 24remulcld 7815 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℝ)
2620, 25readdcld 7814 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) ∈ ℝ)
275, 26readdcld 7814 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) ∈ ℝ)
2812, 3resubcld 8162 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
2928resqcld 10474 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝐶)↑2) ∈ ℝ)
3019, 24readdcld 7814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℝ)
31 0le2 8829 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
3231a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 2)
338, 9, 13, 9mulsubd 8198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐶) · (𝐵𝐶)) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
3419recnd 7813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
359, 9mulcld 7805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℂ)
368, 9mulcld 7805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
3713, 9mulcld 7805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3836, 37addcld 7804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
3934, 35, 38addsubassd 8112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
4033, 39eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐶) · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
4140fveq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴𝐶) · (𝐵𝐶))) = (abs‘((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
4235, 38subcld 8092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
4334, 42abstrid 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))) ≤ ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
4441, 43eqbrtrd 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴𝐶) · (𝐵𝐶))) ≤ ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
45 simp1r 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
46 simp2r 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
471, 12, 45, 46mulge0d 8402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
4819, 47absidd 10963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
499, 21subcld 8092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
5049, 9absmuld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶)) = ((abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) · (abs‘𝐶)))
519, 21, 9subdird 8196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)))
528, 13, 9adddird 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
5352oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
5451, 53eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
5554fveq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶)) = (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
569, 21abssubd 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) = (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
572rpge0d 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
583, 57absidd 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐶) = 𝐶)
5956, 58oveq12d 5795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) · (abs‘𝐶)) = ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶))
6050, 55, 593eqtr3d 2180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))) = ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶))
6148, 60oveq12d 5795 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)))
6244, 61breqtrd 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴𝐶) · (𝐵𝐶))) ≤ ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)))
6310, 14absmuld 10990 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴𝐶) · (𝐵𝐶))) = ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))
6423recnd 7813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ)
6564, 9mulcomd 7806 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶) = (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
6665oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
6762, 63, 663brtr3d 3962 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) ≤ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
6816, 30, 7, 32, 67lemul2ad 8717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶)))) ≤ (2 · ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
697recnd 7813 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
709, 64mulcld 7805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℂ)
7169, 34, 70adddid 7809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
7268, 71breqtrd 3957 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶)))) ≤ ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
7317, 26, 5, 72leadd2dd 8341 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) ≤ (((𝐴𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
7418, 27, 29, 73leadd1dd 8340 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((𝐵𝐶)↑2)) ≤ ((((𝐴𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) + ((𝐵𝐶)↑2)))
755recnd 7813 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐶)↑2) ∈ ℂ)
7626recnd 7813 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) ∈ ℂ)
7729recnd 7813 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝐶)↑2) ∈ ℂ)
7875, 76, 77add32d 7949 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) + ((𝐵𝐶)↑2)) = ((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
7974, 78breqtrd 3957 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((𝐵𝐶)↑2)) ≤ ((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
8075, 77addcld 7804 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) ∈ ℂ)
8169, 34mulcld 7805 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
8269, 70mulcld 7805 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℂ)
8380, 81, 82addassd 7807 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = ((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
8479, 83breqtrrd 3959 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((𝐵𝐶)↑2)) ≤ (((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
858sqcld 10446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8669, 36mulcld 7805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8785, 86subcld 8092 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
889sqcld 10446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8987, 88addcld 7804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
9089, 81addcld 7804 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
9113sqcld 10446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
9269, 37mulcld 7805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
9391, 92subcld 8092 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
9490, 93addcld 7804 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
9593, 88addcld 7804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
9689, 95, 81add32d 7949 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
9790, 93, 88addassd 7807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
9896, 97eqtr4d 2175 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
9994, 88, 98comraddd 7938 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
10081, 93addcld 7804 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
10187, 100addcld 7804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) ∈ ℂ)
10289, 81, 93addassd 7807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
10387, 88addcomd 7932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
104103oveq1d 5792 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
105102, 104eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
10688, 87, 100addassd 7807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
107105, 106eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
10888, 101, 107comraddd 7938 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (𝐶↑2)))
10985, 86, 93subadd23d 8114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
11091, 92, 86subsub4d 8123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
11192, 86addcomd 7932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
112111oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
113110, 112eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
114113oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
115109, 114eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
116115oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
11787, 81, 93add12d 7948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
11886, 92addcld 7804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
11991, 118subcld 8092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
12085, 119addcld 7804 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) ∈ ℂ)
12185, 81addcld 7804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
122121, 91, 118addsubassd 8112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
12385, 81, 119add32d 7949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
124122, 123eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
125120, 81, 124comraddd 7938 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
126116, 117, 1253eqtr4d 2182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
127126oveq1d 5792 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
128108, 127eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
129128oveq2d 5793 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
13099, 129eqtrd 2172 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
131 binom2sub 10429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
1328, 9, 131syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
133 binom2sub 10429 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
13413, 9, 133syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
135132, 134oveq12d 5795 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
136135oveq1d 5792 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
137 binom2sub 10429 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
13821, 9, 137syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
139 binom2 10427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
1408, 13, 139syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
14152oveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = (2 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
14269, 36, 37adddid 7809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
143141, 142eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
144140, 143oveq12d 5795 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
145144oveq1d 5792 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
146138, 145eqtrd 2172 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
147146oveq2d 5793 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
148130, 136, 1473eqtr4d 2182 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
149148oveq1d 5792 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴𝐶)↑2) + ((𝐵𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
15084, 149breqtrd 3957 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((𝐵𝐶)↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
15122sqcld 10446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
15288, 151, 82add32d 7949 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
153150, 152breqtrd 3957 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((𝐵𝐶)↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
154 absresq 10874 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴𝐶))↑2) = ((𝐴𝐶)↑2))
1554, 154syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴𝐶))↑2) = ((𝐴𝐶)↑2))
156155oveq1d 5792 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) = (((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))))
157 absresq 10874 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐵𝐶))↑2) = ((𝐵𝐶)↑2))
15828, 157syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵𝐶))↑2) = ((𝐵𝐶)↑2))
159156, 158oveq12d 5795 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) = ((((𝐴𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((𝐵𝐶)↑2)))
1601, 12readdcld 7814 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
161160, 3resubcld 8162 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
162 absresq 10874 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2) = (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2))
163161, 162syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2) = (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2))
164163oveq2d 5793 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
165153, 159, 1643brtr4d 3963 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
16611recnd 7813 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
16715recnd 7813 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
168 binom2 10427 . . . 4 (((abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)))
169166, 167, 168syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)))
170 binom2 10427 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ) → ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
1719, 64, 170syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
172165, 169, 1713brtr4d 3963 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶)))↑2) ≤ ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2))
17311, 15readdcld 7814 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
1743, 23readdcld 7814 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
17510absge0d 10980 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
17614absge0d 10980 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
17711, 15, 175, 176addge0d 8303 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))))
17822absge0d 10980 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
1793, 23, 57, 178addge0d 8303 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
180173, 174, 177, 179le2sqd 10480 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ↔ (((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶)))↑2) ≤ ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2)))
181172, 180mpbird 166 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3932  cfv 5126  (class class class)co 5777  cc 7637  cr 7638  0cc0 7639   + caddc 7642   · cmul 7644  cle 7820  cmin 7952  2c2 8790  +crp 9463  cexp 10316  abscabs 10793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-rp 9464  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795
This theorem is referenced by:  bdtri  11035
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