Theorem bdtrilem 11003

Description: Lemma for bdtri 11004. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtrilem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))

Proof of Theorem bdtrilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp3 983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 9476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 8136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 10443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
6		2re 8783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
8	1	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	2	rpcnd 9478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	subcld 8066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
11	10	abscld 10946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
12		simp2l 1007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 9	subcld 8066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	abscld 10946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
16	11, 15	remulcld 7789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17	7, 16	remulcld 7789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
18	5, 17	readdcld 7788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) ∈ ℝ)
19	1, 12	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
20	7, 19	remulcld 7789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
21	8, 13	addcld 7778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
22	21, 9	subcld 8066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
23	22	abscld 10946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
24	3, 23	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
25	7, 24	remulcld 7789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℝ)
26	20, 25	readdcld 7788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) ∈ ℝ)
27	5, 26	readdcld 7788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) ∈ ℝ)
28	12, 3	resubcld 8136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
29	28	resqcld 10443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
30	19, 24	readdcld 7788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℝ)
31		0le2 8803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 2)
33	8, 9, 13, 9	mulsubd 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
34	19	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
35	9, 9	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℂ)
36	8, 9	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
37	13, 9	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
38	36, 37	addcld 7778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
39	34, 35, 38	addsubassd 8086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
40	33, 39	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
41	40	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) = (abs‘((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
42	35, 38	subcld 8066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
43	34, 42	abstrid 10961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))) ≤ ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
44	41, 43	eqbrtrd 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) ≤ ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
45		simp1r 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
46		simp2r 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
47	1, 12, 45, 46	mulge0d 8376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
48	19, 47	absidd 10932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
49	9, 21	subcld 8066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49, 9	absmuld 10959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶)) = ((abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) · (abs‘𝐶)))
51	9, 21, 9	subdird 8170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)))
52	8, 13, 9	adddird 7784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
53	52	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
54	51, 53	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
55	54	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶)) = (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
56	9, 21	abssubd 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) = (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
57	2	rpge0d 9480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
58	3, 57	absidd 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐶) = 𝐶)
59	56, 58	oveq12d 5785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) · (abs‘𝐶)) = ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶))
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))) = ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶))
61	48, 60	oveq12d 5785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)))
62	44, 61	breqtrd 3949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) ≤ ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)))
63	10, 14	absmuld 10959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
64	23	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ)
65	64, 9	mulcomd 7780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶) = (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
66	65	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
67	62, 63, 66	3brtr3d 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
68	16, 30, 7, 32, 67	lemul2ad 8691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ (2 · ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
69	7	recnd 7787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
70	9, 64	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℂ)
71	69, 34, 70	adddid 7783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
72	68, 71	breqtrd 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
73	17, 26, 5, 72	leadd2dd 8315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) ≤ (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
74	18, 27, 29, 73	leadd1dd 8314	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)))
75	5	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
76	26	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) ∈ ℂ)
77	29	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	add32d 7923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) = ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
79	74, 78	breqtrd 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
80	75, 77	addcld 7778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ∈ ℂ)
81	69, 34	mulcld 7779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
82	69, 70	mulcld 7779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addassd 7781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
84	79, 83	breqtrrd 3951	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ (((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
85	8	sqcld 10415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
86	69, 36	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
87	85, 86	subcld 8066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
88	9	sqcld 10415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
89	87, 88	addcld 7778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
90	89, 81	addcld 7778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
91	13	sqcld 10415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
92	69, 37	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
93	91, 92	subcld 8066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
94	90, 93	addcld 7778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
95	93, 88	addcld 7778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
96	89, 95, 81	add32d 7923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
97	90, 93, 88	addassd 7781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
98	96, 97	eqtr4d 2173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
99	94, 88, 98	comraddd 7912	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
100	81, 93	addcld 7778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
101	87, 100	addcld 7778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) ∈ ℂ)
102	89, 81, 93	addassd 7781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
103	87, 88	addcomd 7906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
104	103	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
105	102, 104	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
106	88, 87, 100	addassd 7781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
107	105, 106	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
108	88, 101, 107	comraddd 7912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (𝐶↑2)))
109	85, 86, 93	subadd23d 8088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
110	91, 92, 86	subsub4d 8097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
111	92, 86	addcomd 7906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
112	111	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
113	110, 112	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
114	113	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
115	109, 114	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
116	115	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
117	87, 81, 93	add12d 7922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
118	86, 92	addcld 7778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
119	91, 118	subcld 8066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
120	85, 119	addcld 7778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) ∈ ℂ)
121	85, 81	addcld 7778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
122	121, 91, 118	addsubassd 8086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
123	85, 81, 119	add32d 7923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
124	122, 123	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
125	120, 81, 124	comraddd 7912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
126	116, 117, 125	3eqtr4d 2180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
127	126	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
128	108, 127	eqtrd 2170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
129	128	oveq2d 5783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
130	99, 129	eqtrd 2170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
131		binom2sub 10398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
132	8, 9, 131	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
133		binom2sub 10398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
134	13, 9, 133	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
135	132, 134	oveq12d 5785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
136	135	oveq1d 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
137		binom2sub 10398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
138	21, 9, 137	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
139		binom2 10396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
140	8, 13, 139	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
141	52	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = (2 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
142	69, 36, 37	adddid 7783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
143	141, 142	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
144	140, 143	oveq12d 5785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
145	144	oveq1d 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
146	138, 145	eqtrd 2170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
147	146	oveq2d 5783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
148	130, 136, 147	3eqtr4d 2180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
149	148	oveq1d 5782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
150	84, 149	breqtrd 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
151	22	sqcld 10415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
152	88, 151, 82	add32d 7923	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
153	150, 152	breqtrd 3949	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
154		absresq 10843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) = ((𝐴 − 𝐶)↑2))
155	4, 154	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) = ((𝐴 − 𝐶)↑2))
156	155	oveq1d 5782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
157		absresq 10843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) = ((𝐵 − 𝐶)↑2))
158	28, 157	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) = ((𝐵 − 𝐶)↑2))
159	156, 158	oveq12d 5785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) = ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)))
160	1, 12	readdcld 7788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
161	160, 3	resubcld 8136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
162		absresq 10843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2) = (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2))
163	161, 162	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2) = (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2))
164	163	oveq2d 5783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
165	153, 159, 164	3brtr4d 3955	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
166	11	recnd 7787	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
167	15	recnd 7787	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
168		binom2 10396	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
169	166, 167, 168	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
170		binom2 10396	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ) → ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
171	9, 64, 170	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
172	165, 169, 171	3brtr4d 3955	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) ≤ ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2))
173	11, 15	readdcld 7788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
174	3, 23	readdcld 7788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
175	10	absge0d 10949	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
176	14	absge0d 10949	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
177	11, 15, 175, 176	addge0d 8277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
178	22	absge0d 10949	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
179	3, 23, 57, 178	addge0d 8277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
180	173, 174, 177, 179	le2sqd 10449	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) ≤ ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2)))
181	172, 180	mpbird 166	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   · cmul 7618   ≤ cle 7794   − cmin 7926  2c2 8764  ℝ⁺crp 9434  ↑cexp 10285  abscabs 10762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764

This theorem is referenced by:  bdtri  11004