Theorem bdtrilem 11924

Description: Lemma for bdtri 11925. (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 17-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtrilem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))

Proof of Theorem bdtrilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp3 1026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 10029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 8654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 11061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
6		2re 9307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
8	1	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	2	rpcnd 10031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
11	10	abscld 11866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
12		simp2l 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 9	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	abscld 11866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
16	11, 15	remulcld 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17	7, 16	remulcld 8304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
18	5, 17	readdcld 8303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) ∈ ℝ)
19	1, 12	remulcld 8304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
20	7, 19	remulcld 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
21	8, 13	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
22	21, 9	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
23	22	abscld 11866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
24	3, 23	remulcld 8304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
25	7, 24	remulcld 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℝ)
26	20, 25	readdcld 8303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) ∈ ℝ)
27	5, 26	readdcld 8303	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) ∈ ℝ)
28	12, 3	resubcld 8654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
29	28	resqcld 11061	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
30	19, 24	readdcld 8303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℝ)
31		0le2 9327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
32	31	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 2)
33	8, 9, 13, 9	mulsubd 8690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
34	19	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
35	9, 9	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝐶) ∈ ℂ)
36	8, 9	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
37	13, 9	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
38	36, 37	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
39	34, 35, 38	addsubassd 8604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐶)) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
40	33, 39	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
41	40	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) = (abs‘((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
42	35, 38	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
43	34, 42	abstrid 11881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) + ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))) ≤ ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
44	41, 43	eqbrtrd 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) ≤ ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))))
45		simp1r 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
46		simp2r 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
47	1, 12, 45, 46	mulge0d 8895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
48	19, 47	absidd 11852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
49	9, 21	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49, 9	absmuld 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶)) = ((abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) · (abs‘𝐶)))
51	9, 21, 9	subdird 8688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)))
52	8, 13, 9	adddird 8299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
53	52	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
54	51, 53	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
55	54	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 − (𝐴 + 𝐵)) · 𝐶)) = (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))))
56	9, 21	abssubd 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) = (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
57	2	rpge0d 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
58	3, 57	absidd 11852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐶) = 𝐶)
59	56, 58	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐶 − (𝐴 + 𝐵))) · (abs‘𝐶)) = ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶))
60	50, 55, 59	3eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))) = ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶))
61	48, 60	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 · 𝐵)) + (abs‘((𝐶 · 𝐶) − ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)))
62	44, 61	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) ≤ ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)))
63	10, 14	absmuld 11879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 − 𝐶) · (𝐵 − 𝐶))) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
64	23	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ)
65	64, 9	mulcomd 8295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶) = (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
66	65	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝐵) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
67	62, 63, 66	3brtr3d 4140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
68	16, 30, 7, 32, 67	lemul2ad 9214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ (2 · ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
69	7	recnd 8302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
70	9, 64	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℂ)
71	69, 34, 70	adddid 8298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 · 𝐵) + (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
72	68, 71	breqtrd 4135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
73	17, 26, 5, 72	leadd2dd 8834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) ≤ (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
74	18, 27, 29, 73	leadd1dd 8833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)))
75	5	recnd 8302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
76	26	recnd 8302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) ∈ ℂ)
77	29	recnd 8302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	add32d 8441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) = ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
79	74, 78	breqtrd 4135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
80	75, 77	addcld 8293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ∈ ℂ)
81	69, 34	mulcld 8294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
82	69, 70	mulcld 8294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))) ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	addassd 8296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))))
84	79, 83	breqtrrd 4137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ (((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
85	8	sqcld 11033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
86	69, 36	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
87	85, 86	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
88	9	sqcld 11033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
89	87, 88	addcld 8293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
90	89, 81	addcld 8293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
91	13	sqcld 11033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
92	69, 37	mulcld 8294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
93	91, 92	subcld 8584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
94	90, 93	addcld 8293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
95	93, 88	addcld 8293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
96	89, 95, 81	add32d 8441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
97	90, 93, 88	addassd 8296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
98	96, 97	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
99	94, 88, 98	comraddd 8430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
100	81, 93	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
101	87, 100	addcld 8293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) ∈ ℂ)
102	89, 81, 93	addassd 8296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
103	87, 88	addcomd 8424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
104	103	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
105	102, 104	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
106	88, 87, 100	addassd 8296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
107	105, 106	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
108	88, 101, 107	comraddd 8430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (𝐶↑2)))
109	85, 86, 93	subadd23d 8606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
110	91, 92, 86	subsub4d 8615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
111	92, 86	addcomd 8424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
112	111	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐵 · 𝐶)) + (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
113	110, 112	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) = ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
114	113	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
115	109, 114	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
116	115	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
117	87, 81, 93	add12d 8440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
118	86, 92	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
119	91, 118	subcld 8584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
120	85, 119	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) ∈ ℂ)
121	85, 81	addcld 8293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
122	121, 91, 118	addsubassd 8604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))))
123	85, 81, 119	add32d 8441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
124	122, 123	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
125	120, 81, 124	comraddd 8430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴↑2) + ((𝐵↑2) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))))
126	116, 117, 125	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
127	126	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
128	108, 127	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶)))) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
129	128	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
130	99, 129	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
131		binom2sub 11015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
132	8, 9, 131	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
133		binom2sub 11015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
134	13, 9, 133	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 − 𝐶)↑2) = (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
135	132, 134	oveq12d 6068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) = ((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))))
136	135	oveq1d 6065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = (((((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)) + (((𝐵↑2) − (2 · (𝐵 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
137		binom2sub 11015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
138	21, 9, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
139		binom2 11013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
140	8, 13, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
141	52	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = (2 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))))
142	69, 36, 37	adddid 8298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶))) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
143	141, 142	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶)) = ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶))))
144	140, 143	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))))
145	144	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − (2 · ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
146	138, 145	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) = (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2)))
147	146	oveq2d 6066	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) = ((𝐶↑2) + (((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − ((2 · (𝐴 · 𝐶)) + (2 · (𝐵 · 𝐶)))) + (𝐶↑2))))
148	130, 136, 147	3eqtr4d 2275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
149	148	oveq1d 6065	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((((𝐴 − 𝐶)↑2) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
150	84, 149	breqtrd 4135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))))
151	22	sqcld 11033	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
152	88, 151, 82	add32d 8441	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
153	150, 152	breqtrd 4135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
154		absresq 11763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) = ((𝐴 − 𝐶)↑2))
155	4, 154	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) = ((𝐴 − 𝐶)↑2))
156	155	oveq1d 6065	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) = (((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
157		absresq 11763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) = ((𝐵 − 𝐶)↑2))
158	28, 157	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2) = ((𝐵 − 𝐶)↑2))
159	156, 158	oveq12d 6068	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) = ((((𝐴 − 𝐶)↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((𝐵 − 𝐶)↑2)))
160	1, 12	readdcld 8303	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
161	160, 3	resubcld 8654	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
162		absresq 11763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2) = (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2))
163	161, 162	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2) = (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2))
164	163	oveq2d 6066	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)↑2)))
165	153, 159, 164	3brtr4d 4141	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)) ≤ (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
166	11	recnd 8302	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
167	15	recnd 8302	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
168		binom2 11013	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
169	166, 167, 168	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶))↑2) + (2 · ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) · (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) + ((abs‘(𝐵 − 𝐶))↑2)))
170		binom2 11013	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ) → ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
171	9, 64, 170	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2) = (((𝐶↑2) + (2 · (𝐶 · (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))) + ((abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))↑2)))
172	165, 169, 171	3brtr4d 4141	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) ≤ ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2))
173	11, 15	readdcld 8303	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
174	3, 23	readdcld 8303	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
175	10	absge0d 11869	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
176	14	absge0d 11869	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
177	11, 15, 175, 176	addge0d 8796	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
178	22	absge0d 11869	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
179	3, 23, 57, 178	addge0d 8796	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
180	173, 174, 177, 179	le2sqd 11067	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))↑2) ≤ ((𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))↑2)))
181	172, 180	mpbird 167	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   + caddc 8130   · cmul 8132   ≤ cle 8309   − cmin 8444  2c2 9288  ℝ⁺crp 9986  ↑cexp 10900  abscabs 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by:  bdtri  11925