Theorem add42i 8055

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
add.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
add.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
add.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
add4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
add42i	⊢ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐷 + 𝐵))

Proof of Theorem add42i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		add.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		add.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		add.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		add4.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
5	1, 2, 3, 4	add4i 8054	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷))
6	2, 4	addcomi 8033	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵)
7	6	oveq2i 5847	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐷 + 𝐵))
8	5, 7	eqtri 2185	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐷 + 𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  (class class class)co 5836  ℂcc 7742   + caddc 7747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-addcl 7840  ax-addcom 7844  ax-addass 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839

This theorem is referenced by: (None)