ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsub2 GIF version

Theorem subsub2 8002
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subsub2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem subsub2
StepHypRef Expression
1 subcl 7973 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
213adant1 999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
3 simp1 981 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simp3 983 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 simp2 982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 subcl 7973 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
74, 5, 6syl2anc 408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
82, 3, 7add12d 7941 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = (𝐴 + ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵))))
9 npncan2 8001 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵)) = 0)
1093adant1 999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵)) = 0)
1110oveq2d 5790 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵))) = (𝐴 + 0))
123addid1d 7923 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
138, 11, 123eqtrd 2176 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴)
143, 7addcld 7797 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
15 subadd 7977 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (𝐶𝐵)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)) ↔ ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴))
163, 2, 14, 15syl3anc 1216 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)) ↔ ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴))
1713, 16mpbird 166 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7630  0cc0 7632   + caddc 7635  cmin 7945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947
This theorem is referenced by:  nncan  8003  subsub  8004  subsub3  8006  ppncan  8016  subadd4  8018  subsub2d  8114
  Copyright terms: Public domain W3C validator