Theorem dcand 945

Description: A conjunction of two decidable propositions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Apr-2018.) (Revised by BJ, 14-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcand.1	⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)
dcand.2	⊢ (𝜑 → DECID 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
dcand	⊢ (𝜑 → DECID (𝜓 ∧ 𝜒))

Proof of Theorem dcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝜓)
2		df-dc 847	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝜓 ↔ (𝜓 ∨ ¬ 𝜓))
3		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)
4	3	intnanrd 944	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜓 → ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
5	4	orim2i 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∨ ¬ 𝜓) → (𝜓 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
6	2, 5	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (DECID 𝜓 → (𝜓 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
7	1, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
8		dcand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝜒)
9		df-dc 847	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝜒 ↔ (𝜒 ∨ ¬ 𝜒))
10		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝜒 → ¬ 𝜒)
11	10	intnand 943	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝜒 → ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
12	11	orim2i 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∨ ¬ 𝜒) → (𝜒 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
13	9, 12	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (DECID 𝜒 → (𝜒 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
14	8, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜒 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
15		ordir 829	. . 3 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜓 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ (𝜒 ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))))
16	7, 14, 15	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
17		df-dc 847	. 2 ⊢ (DECID (𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
18	16, 17	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝜓 ∧ 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847

This theorem is used by:  dcan  946  dcfi  7315  fdcf1  7316  nn0n0n1ge2b  9730  infssfzcldc  10680  infssfzledc  10681  hashfibclem  11298  fzowrddc  11435  bitsinv1  12748  gcdsupex  12753  gcdsupcl  12754  gcdaddm  12780  nnwosdc  12835  lcmval  12860  lcmcllem  12864  lcmledvds  12867  prmdc  12927  pclemdc  13090  infpnlem2  13162  ballotfilemdifcfi  13277  ballotfilemiex  13296  nninfdclemcl  13391  ppiqfi  16208  prmdvdsfi  16209  ppiprm  16225  chtprm  16227  chtdif  16230  efchtqdvds  16231  ppidif  16235  prmorcht  16248  ppiqub  16259  bposlem6  16282  wexmiddiffi  17215