Theorem lcmcllem 12828

Description: Lemma for lcmn0cl 12829 and dvdslcm 12830. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmcllem	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem lcmcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmn0val 12827	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
2		1zzd 9654	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
3		nnuz 9941	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	3	rabeqi 2814	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}
5		breq2 4132	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
6		breq2 4132	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
7	5, 6	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
8		simpll 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	8, 9	zmulcld 9757	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
11	8	zcnd 9752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12	9	zcnd 9752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		ioran 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
14	13	biimpi 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
16	15	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ¬ 𝑀 = 0)
17	16	neneqad 2499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 ≠ 0)
18		0zd 9639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℤ)
19		zapne 9702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
20	8, 18, 19	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
21	17, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 # 0)
22	15	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ¬ 𝑁 = 0)
23	22	neneqad 2499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ≠ 0)
24		zapne 9702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
25	9, 18, 24	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
26	23, 25	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 # 0)
27	11, 12, 21, 26	mulap0d 8980	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 · 𝑁) # 0)
28		zapne 9702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
29	10, 18, 28	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
30	27, 29	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
31		nnabscl 11849	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
32	10, 30, 31	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
33		dvdsmul1 12563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
34		zmulcl 9681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35		dvdsabsb 12560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
36	34, 35	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
37	33, 36	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
38		dvdsmul2 12564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
39		dvdsabsb 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
40	34, 39	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
41	40	anabss7 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
42	38, 41	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
43	37, 42	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
44	43	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
45	7, 32, 44	elrabd 2984	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
46		simplll 539	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
47		elfzelz 10411	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
48	47	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
49		zdvdsdc 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑛)
50	46, 48, 49	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → DECID 𝑀 ∥ 𝑛)
51		simpllr 540	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		zdvdsdc 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ 𝑛)
53	51, 48, 52	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → DECID 𝑁 ∥ 𝑛)
54	50, 53	dcand 945	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → DECID (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))
55	2, 4, 45, 54	infssuzcldc 10651	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
56	1, 55	eqeltrd 2315	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  infcinf 7317  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178   < clt 8354   # cap 8903  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ...cfz 10394  abscabs 11746   ∥ cdvds 12537   lcm clcm 12821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-lcm 12822

This theorem is referenced by:  lcmn0cl  12829  dvdslcm  12830