ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdsupcl GIF version

Theorem gcdsupcl 10832
Description: Closure of the supremum used in defining gcd. A lemma for gcdval 10833 and gcdn0cl 10836. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
gcdsupcl (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem gcdsupcl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 8710 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2 breq1 3823 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3 breq1 3823 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
42, 3anbi12d 457 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝑋𝑛𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5 1dvds 10692 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6 1dvds 10692 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
75, 6anim12i 331 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
87adantr 270 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9 elnnuz 8987 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
109biimpri 131 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11 simpll 496 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12 dvdsdc 10686 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑋)
1310, 11, 12syl2an2 559 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑋)
14 simplr 497 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15 dvdsdc 10686 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑌)
1610, 14, 15syl2an2 559 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑌)
17 dcan 878 . . . . 5 (DECID 𝑛𝑋 → (DECID 𝑛𝑌DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌)))
1813, 16, 17sylc 61 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
1918adantlr 461 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
20 simplll 500 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℤ)
21 dvdsbnd 10830 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
22 nnuz 8986 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2322rexeqi 2563 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
2421, 23sylib 120 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
25 id 19 . . . . . . . . 9 𝑛𝑋 → ¬ 𝑛𝑋)
2625intnanrd 877 . . . . . . . 8 𝑛𝑋 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2726ralimi 2434 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2827reximi 2466 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2924, 28syl 14 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3020, 29sylancom 411 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
31 simpllr 501 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
32 dvdsbnd 10830 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3322rexeqi 2563 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3432, 33sylib 120 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
35 id 19 . . . . . . . . 9 𝑛𝑌 → ¬ 𝑛𝑌)
3635intnand 876 . . . . . . . 8 𝑛𝑌 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3736ralimi 2434 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3837reximi 2466 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3934, 38syl 14 . . . . 5 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
4031, 39sylancom 411 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
41 simpr 108 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
42 simpll 496 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
43 0z 8694 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
44 zdceq 8755 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
4542, 43, 44sylancl 404 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
46 ianordc 835 . . . . . . 7 (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4745, 46syl 14 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4841, 47mpbid 145 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49 df-ne 2252 . . . . . 6 (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
50 df-ne 2252 . . . . . 6 (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
5149, 50orbi12i 714 . . . . 5 ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
5248, 51sylibr 132 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
5330, 40, 52mpjaodan 745 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
541, 4, 8, 19, 53zsupcl 10825 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}, ℝ, < ) ∈ (ℤ‘1))
5554, 22syl6eleqr 2178 1 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  wral 2355  wrex 2356  {crab 2359   class class class wbr 3820  cfv 4981  supcsup 6621  cr 7293  0cc0 7294  1c1 7295   < clt 7466  cn 8357  cz 8683  cuz 8951  cdvds 10678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-sup 6623  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9854  df-cj 10172  df-re 10173  df-im 10174  df-rsqrt 10327  df-abs 10328  df-dvds 10679
This theorem is referenced by:  gcdval  10833  gcdn0cl  10836
  Copyright terms: Public domain W3C validator