Theorem gcdsupcl 12006

Description: Closure of the supremum used in defining gcd. A lemma for gcdval 12007 and gcdn0cl 12010. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupcl	⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem gcdsupcl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9321	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2		breq1 4028	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3		breq1 4028	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5		1dvds 11859	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6		1dvds 11859	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
7	5, 6	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9		elnnuz 9606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	biimpri 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12		dvdsdc 11852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
13	10, 11, 12	syl2an2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
14		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15		dvdsdc 11852	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
16	10, 14, 15	syl2an2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
17	13, 16	dcand 934	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
18	17	adantlr 477	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
19		dvdsbnd 12004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
20		nnuz 9605	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rexeqi 2691	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
22	19, 21	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
23		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
24	23	intnanrd 933	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
25	24	ralimi 2553	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
26	25	reximi 2587	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
27	22, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
28	27	ad4ant14 514	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
29		dvdsbnd 12004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
30	20	rexeqi 2691	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
31	29, 30	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
32		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
33	32	intnand 932	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
34	33	ralimi 2553	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
35	34	reximi 2587	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
36	31, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
37	36	ad4ant24 516	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
39		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		0z 9305	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zdceq 9369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
43		ianordc 900	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
44	42, 43	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
45	38, 44	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
46		df-ne 2361	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
47		df-ne 2361	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
48	46, 47	orbi12i 765	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49	45, 48	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
50	28, 37, 49	mpjaodan 799	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
51	1, 4, 8, 18, 50	zsupcl 11995	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘1))
52	51, 20	eleqtrrdi 2283	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∀wral 2468  ∃wrex 2469  {crab 2472   class class class wbr 4025  ‘cfv 5242  supcsup 7020  ℝcr 7850  0cc0 7851  1c1 7852   < clt 8033  ℕcn 8960  ℤcz 9294  ℤ_≥cuz 9569   ∥ cdvds 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-mulrcl 7950  ax-addcom 7951  ax-mulcom 7952  ax-addass 7953  ax-mulass 7954  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-1rid 7958  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-precex 7961  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-apti 7966  ax-pre-ltadd 7967  ax-pre-mulgt0 7968  ax-pre-mulext 7969  ax-arch 7970  ax-caucvg 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-nul 3442  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-1st 6173  df-2nd 6174  df-recs 6338  df-frec 6424  df-sup 7022  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-reap 8573  df-ap 8580  df-div 8671  df-inn 8961  df-2 9019  df-3 9020  df-4 9021  df-n0 9218  df-z 9295  df-uz 9570  df-q 9662  df-rp 9696  df-fz 10051  df-fzo 10185  df-fl 10313  df-mod 10366  df-seqfrec 10491  df-exp 10566  df-cj 10898  df-re 10899  df-im 10900  df-rsqrt 11054  df-abs 11055  df-dvds 11842

This theorem is referenced by:  gcdval  12007  gcdn0cl  12010