ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdsupcl GIF version

Theorem gcdsupcl 11959
Description: Closure of the supremum used in defining gcd. A lemma for gcdval 11960 and gcdn0cl 11963. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
gcdsupcl (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem gcdsupcl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9280 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2 breq1 4007 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3 breq1 4007 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
42, 3anbi12d 473 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝑋𝑛𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5 1dvds 11812 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6 1dvds 11812 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
75, 6anim12i 338 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
87adantr 276 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9 elnnuz 9564 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
109biimpri 133 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11 simpll 527 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12 dvdsdc 11805 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑋)
1310, 11, 12syl2an2 594 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑋)
14 simplr 528 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15 dvdsdc 11805 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑌)
1610, 14, 15syl2an2 594 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑌)
17 dcan2 934 . . . . 5 (DECID 𝑛𝑋 → (DECID 𝑛𝑌DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌)))
1813, 16, 17sylc 62 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
1918adantlr 477 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
20 simplll 533 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℤ)
21 dvdsbnd 11957 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
22 nnuz 9563 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2322rexeqi 2678 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
2421, 23sylib 122 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
25 id 19 . . . . . . . . 9 𝑛𝑋 → ¬ 𝑛𝑋)
2625intnanrd 932 . . . . . . . 8 𝑛𝑋 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2726ralimi 2540 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2827reximi 2574 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2924, 28syl 14 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3020, 29sylancom 420 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
31 simpllr 534 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
32 dvdsbnd 11957 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3322rexeqi 2678 . . . . . . 7 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3432, 33sylib 122 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
35 id 19 . . . . . . . . 9 𝑛𝑌 → ¬ 𝑛𝑌)
3635intnand 931 . . . . . . . 8 𝑛𝑌 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3736ralimi 2540 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3837reximi 2574 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3934, 38syl 14 . . . . 5 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
4031, 39sylancom 420 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
41 simpr 110 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
42 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
43 0z 9264 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
44 zdceq 9328 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
4542, 43, 44sylancl 413 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
46 ianordc 899 . . . . . . 7 (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4745, 46syl 14 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4841, 47mpbid 147 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49 df-ne 2348 . . . . . 6 (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
50 df-ne 2348 . . . . . 6 (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
5149, 50orbi12i 764 . . . . 5 ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
5248, 51sylibr 134 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
5330, 40, 52mpjaodan 798 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
541, 4, 8, 19, 53zsupcl 11948 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}, ℝ, < ) ∈ (ℤ‘1))
5554, 22eleqtrrdi 2271 1 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459   class class class wbr 4004  cfv 5217  supcsup 6981  cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   < clt 7992  cn 8919  cz 9253  cuz 9528  cdvds 11794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795
This theorem is referenced by:  gcdval  11960  gcdn0cl  11963
  Copyright terms: Public domain W3C validator