Theorem gcdsupcl 12718

Description: Closure of the supremum used in defining gcd. A lemma for gcdval 12719 and gcdn0cl 12722. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupcl	⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem gcdsupcl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9654	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2		breq1 4131	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3		breq1 4131	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5		1dvds 12555	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6		1dvds 12555	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
7	5, 6	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9		elnnuz 9942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	biimpri 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11		simpll 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12		dvdsdc 12548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
13	10, 11, 12	syl2an2 602	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
14		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15		dvdsdc 12548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
16	10, 14, 15	syl2an2 602	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
17	13, 16	dcand 945	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
18	17	adantlr 481	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
19		dvdsbnd 12716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
20		nnuz 9941	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rexeqi 2754	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
22	19, 21	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
23		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
24	23	intnanrd 944	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
25	24	ralimi 2613	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
26	25	reximi 2647	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
27	22, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
28	27	ad4ant14 518	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
29		dvdsbnd 12716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
30	20	rexeqi 2754	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
31	29, 30	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
32		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
33	32	intnand 943	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
34	33	ralimi 2613	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
35	34	reximi 2647	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
36	31, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
37	36	ad4ant24 520	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
39		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		0z 9638	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zdceq 9703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
42	39, 40, 41	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
43		ianordc 911	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
44	42, 43	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
45	38, 44	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
46		df-ne 2421	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
47		df-ne 2421	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
48	46, 47	orbi12i 776	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49	45, 48	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
50	28, 37, 49	mpjaodan 810	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
51	1, 4, 8, 18, 50	zsupcl 10647	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘1))
52	51, 20	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  supcsup 7316  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   < clt 8354  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904   ∥ cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  gcdval  12719  gcdn0cl  12722