Theorem gcdsupcl 12662

Description: Closure of the supremum used in defining gcd. A lemma for gcdval 12663 and gcdn0cl 12666. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupcl	⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌

Proof of Theorem gcdsupcl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9609	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2		breq1 4114	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3		breq1 4114	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5		1dvds 12499	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6		1dvds 12499	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
7	5, 6	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
8	7	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9		elnnuz 9897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	biimpri 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12		dvdsdc 12492	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
13	10, 11, 12	syl2an2 598	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
14		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15		dvdsdc 12492	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
16	10, 14, 15	syl2an2 598	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
17	13, 16	dcand 941	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
18	17	adantlr 477	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
19		dvdsbnd 12660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
20		nnuz 9896	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rexeqi 2748	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
22	19, 21	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
23		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
24	23	intnanrd 940	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
25	24	ralimi 2607	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
26	25	reximi 2641	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
27	22, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
28	27	ad4ant14 514	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
29		dvdsbnd 12660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
30	20	rexeqi 2748	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
31	29, 30	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
32		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
33	32	intnand 939	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
34	33	ralimi 2607	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
35	34	reximi 2641	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
36	31, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
37	36	ad4ant24 516	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
38		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
39		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		0z 9593	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zdceq 9658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
43		ianordc 907	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
44	42, 43	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
45	38, 44	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
46		df-ne 2415	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
47		df-ne 2415	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
48	46, 47	orbi12i 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49	45, 48	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
50	28, 37, 49	mpjaodan 806	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
51	1, 4, 8, 18, 50	zsupcl 10598	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘1))
52	51, 20	eleqtrrdi 2328	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}, ℝ, < ) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {crab 2526   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  supcsup 7275  ℝcr 8131  0cc0 8132  1c1 8133   < clt 8313  ℕcn 9242  ℤcz 9582  ℤ_≥cuz 9859   ∥ cdvds 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-dvds 12482

This theorem is referenced by:  gcdval  12663  gcdn0cl  12666