Theorem nninfdclemcl 12665

Description: Lemma for nninfdc 12670. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemcl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
nninfdclemcl.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝑃   𝑃,𝑚,𝑛   𝑦,𝑃,𝑧   𝑦,𝑄,𝑧   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1, 4	sseldd 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
6		inss1 3383	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ 𝐴
7	6, 1	sstrid 3194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ)
8		eleq1 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
9	8	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑠 ∈ 𝐴))
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
12		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
13	9, 11, 12	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ 𝐴)
14	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 9451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
17	12	nnzd 9447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
18		eluzdc 9684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
20	13, 19	dcand 934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
21		elin 3346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
22	21	dcbii 841	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
23	20, 22	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
24	23	ralrimiva 2570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
25		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
26	25	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
27	26	cbvralvw 2733	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
28	24, 27	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
29		breq1 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑛))
30	29	rexbidv 2498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛))
31		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
32	30, 31, 3	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛)
33		breq2 4037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑡 → (𝑃 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑡))
34	33	cbvrexvw 2734	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
35	32, 34	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
36		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
37	3	nnzd 9447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
38	37	peano2zd 9451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
40	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
41	40, 36	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℕ)
42	41	nnzd 9447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℤ)
43		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑃 < 𝑡)
44		nnltp1le 9386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
45	3, 41, 44	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
46	43, 45	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ≤ 𝑡)
47		eluz2 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)) ↔ ((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
48	39, 42, 46, 47	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
49	36, 48	elind 3348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
50		elex2 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
52	35, 51	rexlimddv 2619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
53		nnmindc 12201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ∧ ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
54	7, 28, 52, 53	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
55	54	elin1d 3352	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
56		fvoveq1 5945	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (ℤ≥‘(𝑦 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
57	56	ineq2d 3364	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
58	57	infeq1d 7078	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
59		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑄 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
60		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
61	58, 59, 60	ovmpog 6057	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
62	3, 5, 55, 61	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
63	62, 55	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  infcinf 7049  ℝcr 7878  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℕcn 8990  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12666  nninfdclemp1  12667