Theorem nninfdclemcl 12934

Description: Lemma for nninfdc 12939. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemcl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
nninfdclemcl.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝑃   𝑃,𝑚,𝑛   𝑦,𝑃,𝑧   𝑦,𝑄,𝑧   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3202	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1, 4	sseldd 3202	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
6		inss1 3401	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ 𝐴
7	6, 1	sstrid 3212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ)
8		eleq1 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
9	8	dcbid 840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑠 ∈ 𝐴))
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
12		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
13	9, 11, 12	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ 𝐴)
14	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 9533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
17	12	nnzd 9529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
18		eluzdc 9766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
20	13, 19	dcand 935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
21		elin 3364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
22	21	dcbii 842	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
23	20, 22	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
24	23	ralrimiva 2581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
25		eleq1 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
26	25	dcbid 840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
27	26	cbvralvw 2746	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
28	24, 27	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
29		breq1 4062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑛))
30	29	rexbidv 2509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛))
31		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
32	30, 31, 3	rspcdva 2889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛)
33		breq2 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑡 → (𝑃 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑡))
34	33	cbvrexvw 2747	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
35	32, 34	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
36		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
37	3	nnzd 9529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
38	37	peano2zd 9533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
40	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
41	40, 36	sseldd 3202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℕ)
42	41	nnzd 9529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℤ)
43		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑃 < 𝑡)
44		nnltp1le 9468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
45	3, 41, 44	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
46	43, 45	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ≤ 𝑡)
47		eluz2 9689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)) ↔ ((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
48	39, 42, 46, 47	syl3anbrc 1184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
49	36, 48	elind 3366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
50		elex2 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
52	35, 51	rexlimddv 2630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
53		nnmindc 12470	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ∧ ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
54	7, 28, 52, 53	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
55	54	elin1d 3370	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
56		fvoveq1 5990	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (ℤ≥‘(𝑦 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
57	56	ineq2d 3382	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
58	57	infeq1d 7140	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
59		eqidd 2208	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑄 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
60		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
61	58, 59, 60	ovmpog 6103	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
62	3, 5, 55, 61	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
63	62, 55	eqeltrd 2284	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ∈ cmpo 5969  infcinf 7111  ℝcr 7959  1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   ≤ cle 8143  ℕcn 9071  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12935  nninfdclemp1  12936