ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfdclemcl GIF version

Theorem nninfdclemcl 12449
Description: Lemma for nninfdc 12454. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfdclemf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
nninfdclemf.nb (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemcl.p (𝜑𝑃𝐴)
nninfdclemcl.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
nninfdclemcl (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝑃   𝑃,𝑚,𝑛   𝑦,𝑃,𝑧   𝑦,𝑄,𝑧   𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemcl
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfdclemf.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 nninfdclemcl.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐴)
31, 2sseldd 3157 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 nninfdclemcl.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
51, 4sseldd 3157 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
6 inss1 3356 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ⊆ 𝐴
76, 1sstrid 3167 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ)
8 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥𝐴𝑠𝐴))
98dcbid 838 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑠𝐴))
10 nninfdclemf.dc . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
1110adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
12 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
139, 11, 12rspcdva 2847 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠𝐴)
143adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
1514nnzd 9374 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
1615peano2zd 9378 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
1712nnzd 9374 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
18 eluzdc 9610 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1)))
1916, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1)))
20 dcan2 934 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑠𝐴 → (DECID 𝑠 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1)) → DECID (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1)))))
2113, 19, 20sylc 62 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
22 elin 3319 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
2322dcbii 840 . . . . . . . 8 (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
2421, 23sylibr 134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
2524ralrimiva 2550 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
26 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1)))))
2726dcbid 838 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1)))))
2827cbvralv 2704 . . . . . 6 (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
2925, 28sylib 122 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
30 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑃 → (𝑚 < 𝑛𝑃 < 𝑛))
3130rexbidv 2478 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑃 → (∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛𝐴 𝑃 < 𝑛))
32 nninfdclemf.nb . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
3331, 32, 3rspcdva 2847 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑛𝐴 𝑃 < 𝑛)
34 breq2 4008 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑡 → (𝑃 < 𝑛𝑃 < 𝑡))
3534cbvrexv 2705 . . . . . . 7 (∃𝑛𝐴 𝑃 < 𝑛 ↔ ∃𝑡𝐴 𝑃 < 𝑡)
3633, 35sylib 122 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑡𝐴 𝑃 < 𝑡)
37 simprl 529 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝑡𝐴)
383nnzd 9374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
3938peano2zd 9378 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
4039adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
411adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
4241, 37sseldd 3157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℕ)
4342nnzd 9374 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℤ)
44 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝑃 < 𝑡)
453adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝑃 ∈ ℕ)
46 nnltp1le 9313 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
4745, 42, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
4844, 47mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ≤ 𝑡)
49 eluz2 9534 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1)) ↔ ((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
5040, 43, 48, 49syl3anbrc 1181 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (ℤ‘(𝑃 + 1)))
5137, 50elind 3321 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
52 elex2 2754 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
5351, 52syl 14 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑡𝐴𝑃 < 𝑡)) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
5436, 53rexlimddv 2599 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
55 nnmindc 12035 . . . . 5 (((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))) ∧ ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
567, 29, 54, 55syl3anc 1238 . . . 4 (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
5756elin1d 3325 . . 3 (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
58 fvoveq1 5898 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑃 → (ℤ‘(𝑦 + 1)) = (ℤ‘(𝑃 + 1)))
5958ineq2d 3337 . . . . 5 (𝑦 = 𝑃 → (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))))
6059infeq1d 7011 . . . 4 (𝑦 = 𝑃 → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
61 eqidd 2178 . . . 4 (𝑧 = 𝑄 → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
62 eqid 2177 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
6360, 61, 62ovmpog 6009 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
643, 5, 57, 63syl3anc 1238 . 2 (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
6564, 57eqeltrd 2254 1 (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cin 3129  wss 3130   class class class wbr 4004  cfv 5217  (class class class)co 5875  cmpo 5877  infcinf 6982  cr 7810  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992  cle 7993  cn 8919  cz 9253  cuz 9528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-fzo 10143
This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12450  nninfdclemp1  12451
  Copyright terms: Public domain W3C validator