Theorem nninfdclemcl 12432

Description: Lemma for nninfdc 12437. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemcl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
nninfdclemcl.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝑃   𝑃,𝑚,𝑛   𝑦,𝑃,𝑧   𝑦,𝑄,𝑧   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1, 4	sseldd 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
6		inss1 3355	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ 𝐴
7	6, 1	sstrid 3166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ)
8		eleq1w 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
9	8	dcbid 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑠 ∈ 𝐴))
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
12		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
13	9, 11, 12	rspcdva 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ 𝐴)
14	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 9367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
17	12	nnzd 9363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
18		eluzdc 9599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
20		dcan2 934	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
21	13, 19, 20	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
22		elin 3318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
23	22	dcbii 840	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
24	21, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
25	24	ralrimiva 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
26		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
27	26	dcbid 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
28	27	cbvralv 2703	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
29	25, 28	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
30		breq1 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑛))
31	30	rexbidv 2478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛))
32		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
33	31, 32, 3	rspcdva 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛)
34		breq2 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑡 → (𝑃 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑡))
35	34	cbvrexv 2704	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
36	33, 35	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
37		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
38	3	nnzd 9363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
39	38	peano2zd 9367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
40	39	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
41	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
42	41, 37	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℕ)
43	42	nnzd 9363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℤ)
44		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑃 < 𝑡)
45	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑃 ∈ ℕ)
46		nnltp1le 9302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
47	45, 42, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
48	44, 47	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ≤ 𝑡)
49		eluz2 9523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)) ↔ ((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
50	40, 43, 48, 49	syl3anbrc 1181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
51	37, 50	elind 3320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
52		elex2 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
53	51, 52	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
54	36, 53	rexlimddv 2599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
55		nnmindc 12018	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ∧ ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
56	7, 29, 54, 55	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
57	56	elin1d 3324	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
58		fvoveq1 5892	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (ℤ≥‘(𝑦 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
59	58	ineq2d 3336	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
60	59	infeq1d 7005	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
61		eqidd 2178	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑄 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
62		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
63	60, 61, 62	ovmpog 6003	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
64	3, 5, 57, 63	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
65	64, 57	eqeltrd 2254	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869   ∈ cmpo 5871  infcinf 6976  ℝcr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   ≤ cle 7983  ℕcn 8908  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  12433  nninfdclemp1  12434