Theorem nninfdclemcl 13283

Description: Lemma for nninfdc 13288. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemcl.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
nninfdclemcl.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemcl	⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴,𝑧   𝐴,𝑚,𝑛   𝑥,𝑃   𝑃,𝑚,𝑛   𝑦,𝑃,𝑧   𝑦,𝑄,𝑧   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑄(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemcl

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemcl.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3243	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nninfdclemcl.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1, 4	sseldd 3243	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
6		inss1 3445	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ 𝐴
7	6, 1	sstrid 3253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ)
8		eleq1 2297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
9	8	dcbid 846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑠 ∈ 𝐴))
10		nninfdclemf.dc	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
12		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
13	9, 11, 12	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ 𝐴)
14	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 9721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
17	12	nnzd 9717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
18		eluzdc 9960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
20	13, 19	dcand 941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
21		elin 3406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
22	21	dcbii 848	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
23	20, 22	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
24	23	ralrimiva 2617	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
25		eleq1 2297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
26	25	dcbid 846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))))
27	26	cbvralvw 2784	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
28	24, 27	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
29		breq1 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (𝑚 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑛))
30	29	rexbidv 2545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑃 → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛))
31		nninfdclemf.nb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
32	30, 31, 3	rspcdva 2928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛)
33		breq2 4118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑡 → (𝑃 < 𝑛 ↔ 𝑃 < 𝑡))
34	33	cbvrexvw 2785	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑛 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
35	32, 34	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑃 < 𝑡)
36		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
37	3	nnzd 9717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
38	37	peano2zd 9721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ∈ ℤ)
40	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
41	40, 36	sseldd 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℕ)
42	41	nnzd 9717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ ℤ)
43		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑃 < 𝑡)
44		nnltp1le 9655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
45	3, 41, 44	syl2an2r 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 < 𝑡 ↔ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
46	43, 45	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → (𝑃 + 1) ≤ 𝑡)
47		eluz2 9877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)) ↔ ((𝑃 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑃 + 1) ≤ 𝑡))
48	39, 42, 46, 47	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
49	36, 48	elind 3408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
50		elex2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 < 𝑡)) → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
52	35, 51	rexlimddv 2667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
53		nnmindc 12755	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))) ∧ ∃𝑟 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
54	7, 28, 52, 53	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
55	54	elin1d 3412	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
56		fvoveq1 6081	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (ℤ≥‘(𝑦 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑃 + 1)))
57	56	ineq2d 3426	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))))
58	57	infeq1d 7316	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
59		eqidd 2235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑄 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
60		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
61	58, 59, 60	ovmpog 6196	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
62	3, 5, 55, 61	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑃 + 1))), ℝ, < ))
63	62, 55	eqeltrd 2311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ∈ cmpo 6060  infcinf 7287  ℝcr 8142  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℕcn 9254  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by:  nninfdclemf  13284  nninfdclemp1  13285