Theorem nn0n0n1ge2b 9345

Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0n0n1ge2 9336	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
2	1	3expib 1207	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3		nn0z 9286	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		0z 9277	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zdceq 9341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 0)
7	6	dcned 2363	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 ≠ 0)
8		1z 9292	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		zdceq 9341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
10	3, 8, 9	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 1)
11	10	dcned 2363	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 ≠ 1)
12		dcan2 935	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 ≠ 0 → (DECID 𝑁 ≠ 1 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
13	7, 11, 12	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
14		ianordc 900	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
15	7, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
16		nnedc 2362	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
17	6, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
18		nnedc 2362	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
20	17, 19	orbi12d 794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
21	15, 20	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
22		2pos 9023	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23		breq1 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
24	22, 23	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
25	24	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
26		1lt2 9101	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
27		breq1 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
28	26, 27	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
29	28	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
30	25, 29	jaoi 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
31	30	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
32		2z 9294	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zltnle 9312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
34	3, 32, 33	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
36	31, 35	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
37	36	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
38	21, 37	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
39		condc 854	. . 3 ⊢ (DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))))
40	13, 38, 39	sylc 62	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
41	2, 40	impbid 129	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ≠ wne 2357   class class class wbr 4015  0cc0 7824  1c1 7825   < clt 8005   ≤ cle 8006  2c2 8983  ℕ₀cn0 9189  ℤcz 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267

This theorem is referenced by: (None)