Theorem nn0n0n1ge2b 9303

Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0n0n1ge2 9294	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
2	1	3expib 1206	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3		nn0z 9244	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		0z 9235	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zdceq 9299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 0)
7	6	dcned 2351	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 ≠ 0)
8		1z 9250	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		zdceq 9299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
10	3, 8, 9	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 1)
11	10	dcned 2351	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 ≠ 1)
12		dcan2 934	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 ≠ 0 → (DECID 𝑁 ≠ 1 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
13	7, 11, 12	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
14		ianordc 899	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
15	7, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
16		nnedc 2350	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
17	6, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
18		nnedc 2350	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
20	17, 19	orbi12d 793	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
21	15, 20	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
22		2pos 8981	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23		breq1 4001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
24	22, 23	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
25	24	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
26		1lt2 9059	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
27		breq1 4001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
28	26, 27	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
29	28	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
30	25, 29	jaoi 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
31	30	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
32		2z 9252	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zltnle 9270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
34	3, 32, 33	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
35	34	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
36	31, 35	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
37	36	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
38	21, 37	sylbid 150	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
39		condc 853	. . 3 ⊢ (DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))))
40	13, 38, 39	sylc 62	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
41	2, 40	impbid 129	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2345   class class class wbr 3998  0cc0 7786  1c1 7787   < clt 7966   ≤ cle 7967  2c2 8941  ℕ₀cn0 9147  ℤcz 9224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225

This theorem is referenced by: (None)