ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0n0n1ge2b GIF version

Theorem nn0n0n1ge2b 8759
Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0n0n1ge2b (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 nn0n0n1ge2 8750 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
213expib 1144 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3 nn0z 8703 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 0z 8694 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
5 zdceq 8755 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
63, 4, 5sylancl 404 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 0)
76dcned 2257 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 ≠ 0)
8 1z 8709 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 zdceq 8755 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
103, 8, 9sylancl 404 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 = 1)
1110dcned 2257 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0DECID 𝑁 ≠ 1)
12 dcan 878 . . . 4 (DECID 𝑁 ≠ 0 → (DECID 𝑁 ≠ 1 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
137, 11, 12sylc 61 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
14 ianordc 835 . . . . . 6 (DECID 𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
157, 14syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
16 nnedc 2256 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
176, 16syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
18 nnedc 2256 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 = 1 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
1910, 18syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
2017, 19orbi12d 740 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2115, 20bitrd 186 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
22 2pos 8448 . . . . . . . . . 10 0 < 2
23 breq1 3823 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
2422, 23mpbiri 166 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
2524a1d 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
26 1lt2 8519 . . . . . . . . . 10 1 < 2
27 breq1 3823 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
2826, 27mpbiri 166 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
2928a1d 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
3025, 29jaoi 669 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2))
3130impcom 123 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
32 2z 8711 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
33 zltnle 8729 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
343, 32, 33sylancl 404 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
3534adantr 270 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
3631, 35mpbid 145 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
3736ex 113 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
3821, 37sylbid 148 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
39 condc 785 . . 3 (DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))))
4013, 38, 39sylc 61 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
412, 40impbid 127 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3820  0cc0 7294  1c1 7295   < clt 7466  cle 7467  2c2 8407  0cn0 8606  cz 8683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-ltadd 7405
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-inn 8358  df-2 8416  df-n0 8607  df-z 8684
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator