Theorem nn0n0n1ge2b 9291

Description: A nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem nn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0n0n1ge2 9282	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁)
2	1	3expib 1201	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → 2 ≤ 𝑁))
3		nn0z 9232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		0z 9223	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zdceq 9287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
6	3, 4, 5	sylancl 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 0)
7	6	dcned 2346	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 ≠ 0)
8		1z 9238	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		zdceq 9287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
10	3, 8, 9	sylancl 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 = 1)
11	10	dcned 2346	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID 𝑁 ≠ 1)
12		dcan2 929	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 ≠ 0 → (DECID 𝑁 ≠ 1 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
13	7, 11, 12	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
14		ianordc 894	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑁 ≠ 0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
15	7, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1)))
16		nnedc 2345	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
17	6, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
18		nnedc 2345	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ≠ 1 ↔ 𝑁 = 1))
20	17, 19	orbi12d 788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
21	15, 20	bitrd 187	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
22		2pos 8969	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
23		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 2 ↔ 0 < 2))
24	22, 23	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 < 2)
25	24	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
26		1lt2 9047	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
27		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 < 2 ↔ 1 < 2))
28	26, 27	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 < 2)
29	28	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
30	25, 29	jaoi 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < 2))
31	30	impcom 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → 𝑁 < 2)
32		2z 9240	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zltnle 9258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
34	3, 32, 33	sylancl 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
35	34	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → (𝑁 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 𝑁))
36	31, 35	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)) → ¬ 2 ≤ 𝑁)
37	36	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
38	21, 37	sylbid 149	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁))
39		condc 848	. . 3 ⊢ (DECID (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((¬ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) → ¬ 2 ≤ 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))))
40	13, 38, 39	sylc 62	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1)))
41	2, 40	impbid 128	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  0cc0 7774  1c1 7775   < clt 7954   ≤ cle 7955  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by: (None)