Theorem fzowrddc 11419

Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fzowrddc	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)

Proof of Theorem fzowrddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9655	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		simpl2 1032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
3		zdcle 9721	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → DECID 0 ≤ 𝐹)
4	1, 2, 3	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID 0 ≤ 𝐹)
5		simpl3 1033	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		lencl 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
8	7	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10		zdcle 9721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → DECID 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
11	5, 9, 10	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
12	4, 11	dcand 945	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13		0zd 9656	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐹 < 𝐿)
15		ssfzo12bi 10643	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
16	2, 5, 13, 9, 14, 15	syl221anc 1289	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
17	16	dcbid 850	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ DECID (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
18	12, 17	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
19		fzonlt0 10576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
20	19	3adant1 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
21	20	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
22		0ss 3561	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (0..^(♯‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 3300	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
24	23	orcd 745	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
25		df-dc 847	. . . 4 ⊢ (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
26	24, 25	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
27		zdclt 9722	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐹 < 𝐿)
28	27	3adant1 1046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐹 < 𝐿)
29		exmiddc 848	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐹 < 𝐿 → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
30	28, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
31	18, 26, 30	mpjaodan 810	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
32		wrddm 11312	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
33	32	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
34	33	sseq2d 3278	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
35	34	dcbid 850	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆 ↔ DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
36	31, 35	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℤcz 9644  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Word cword 11304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305

This theorem is used by:  swrdclg  11422