Theorem fzowrddc 11227

Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fzowrddc	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)

Proof of Theorem fzowrddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9489	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		simpl2 1027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
3		zdcle 9555	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → DECID 0 ≤ 𝐹)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID 0 ≤ 𝐹)
5		simpl3 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		lencl 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
8	7	3ad2ant1 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10		zdcle 9555	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → DECID 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
11	5, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
12	4, 11	dcand 940	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13		0zd 9490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐹 < 𝐿)
15		ssfzo12bi 10469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
16	2, 5, 13, 9, 14, 15	syl221anc 1284	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
17	16	dcbid 845	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ DECID (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
18	12, 17	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
19		fzonlt0 10403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
20	19	3adant1 1041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
21	20	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
22		0ss 3533	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (0..^(♯‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 3279	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
24	23	orcd 740	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
25		df-dc 842	. . . 4 ⊢ (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
26	24, 25	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
27		zdclt 9556	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐹 < 𝐿)
28	27	3adant1 1041	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐹 < 𝐿)
29		exmiddc 843	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐹 < 𝐿 → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
30	28, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
31	18, 26, 30	mpjaodan 805	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
32		wrddm 11120	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
33	32	3ad2ant1 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
34	33	sseq2d 3257	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
35	34	dcbid 845	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆 ↔ DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
36	31, 35	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031   < clt 8213   ≤ cle 8214  ℤcz 9478  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113

This theorem is referenced by:  swrdclg  11230