Theorem fzowrddc 11100

Description: Decidability of whether a range of integers is a subset of a word's domain. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fzowrddc	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)

Proof of Theorem fzowrddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9383	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		simpl2 1004	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
3		zdcle 9449	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → DECID 0 ≤ 𝐹)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID 0 ≤ 𝐹)
5		simpl3 1005	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
6		lencl 10998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
8	7	3ad2ant1 1021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10		zdcle 9449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → DECID 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
11	5, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
12	4, 11	dcand 935	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
13		0zd 9384	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 0 ∈ ℤ)
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → 𝐹 < 𝐿)
15		ssfzo12bi 10354	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
16	2, 5, 13, 9, 14, 15	syl221anc 1261	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
17	16	dcbid 840	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ DECID (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
18	12, 17	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
19		fzonlt0 10291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
20	19	3adant1 1018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
21	20	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
22		0ss 3499	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (0..^(♯‘𝑆))
23	21, 22	eqsstrdi 3245	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
24	23	orcd 735	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
25		df-dc 837	. . . 4 ⊢ (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
26	24, 25	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
27		zdclt 9450	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐹 < 𝐿)
28	27	3adant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐹 < 𝐿)
29		exmiddc 838	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐹 < 𝐿 → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
30	28, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
31	18, 26, 30	mpjaodan 800	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
32		wrddm 11002	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
33	32	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
34	33	sseq2d 3223	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
35	34	dcbid 840	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆 ↔ DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆))))
36	31, 35	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ⊆ wss 3166  ∅c0 3460   class class class wbr 4044  dom cdm 4675  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  0cc0 7925   < clt 8107   ≤ cle 8108  ℤcz 9372  ..^cfzo 10264  ♯chash 10920  Word cword 10994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-ihash 10921  df-word 10995

This theorem is referenced by:  swrdclg  11103