Theorem gcdsupex 12444

Description: Existence of the supremum used in defining gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupex	⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem gcdsupex

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9441	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2		breq1 4065	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3		breq1 4065	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5		1dvds 12282	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6		1dvds 12282	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
8	7	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9		elnnuz 9727	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12		dvdsdc 12275	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
13	10, 11, 12	syl2an2 596	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
14		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15		dvdsdc 12275	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
16	10, 14, 15	syl2an2 596	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
17	13, 16	dcand 937	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
18	17	adantlr 477	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
19		dvdsbnd 12443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
20		nnuz 9726	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rexeqi 2713	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
22	19, 21	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
23		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
24	23	intnanrd 936	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
25	24	ralimi 2573	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
26	25	reximi 2607	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
27	22, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
28	27	ad4ant14 514	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
29		dvdsbnd 12443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
30	20	rexeqi 2713	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
31	29, 30	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
32		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
33	32	intnand 935	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
34	33	ralimi 2573	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
35	34	reximi 2607	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
36	31, 35	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
37	36	ad4ant24 516	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
38		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
39		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		0z 9425	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
41		zdceq 9490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
43		ianordc 903	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
45	38, 44	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
46		df-ne 2381	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
47		df-ne 2381	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
48	46, 47	orbi12i 768	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49	45, 48	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
50	28, 37, 49	mpjaodan 802	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
51	1, 4, 8, 18, 50	zsupcllemex 10417	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 712  DECID wdc 838   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380  ∀wral 2488  ∃wrex 2489  {crab 2492   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   < clt 8149  ℕcn 9078  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690   ∥ cdvds 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-dvds 12265

This theorem is referenced by:  gcddvds  12450  dvdslegcd  12451