ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdsupex GIF version

Theorem gcdsupex 11488
Description: Existence of the supremum used in defining gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
gcdsupex (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem gcdsupex
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 8979 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2 breq1 3896 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3 breq1 3896 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
42, 3anbi12d 462 . 2 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝑋𝑛𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5 1dvds 11349 . . . 4 (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6 1dvds 11349 . . . 4 (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
75, 6anim12i 334 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
87adantr 272 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9 elnnuz 9258 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
109biimpri 132 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11 simpll 501 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12 dvdsdc 11343 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑋)
1310, 11, 12syl2an2 566 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑋)
14 simplr 502 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15 dvdsdc 11343 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑌)
1610, 14, 15syl2an2 566 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑌)
17 dcan 899 . . . 4 (DECID 𝑛𝑋 → (DECID 𝑛𝑌DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌)))
1813, 16, 17sylc 62 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
1918adantlr 466 . 2 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
20 simplll 505 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℤ)
21 dvdsbnd 11487 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
22 nnuz 9257 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2322rexeqi 2603 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
2421, 23sylib 121 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
25 id 19 . . . . . . . 8 𝑛𝑋 → ¬ 𝑛𝑋)
2625intnanrd 898 . . . . . . 7 𝑛𝑋 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2726ralimi 2467 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2827reximi 2501 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2924, 28syl 14 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3020, 29sylancom 414 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
31 simpllr 506 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
32 dvdsbnd 11487 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3322rexeqi 2603 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3432, 33sylib 121 . . . . 5 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
35 id 19 . . . . . . . 8 𝑛𝑌 → ¬ 𝑛𝑌)
3635intnand 897 . . . . . . 7 𝑛𝑌 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3736ralimi 2467 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3837reximi 2501 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3934, 38syl 14 . . . 4 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
4031, 39sylancom 414 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
41 simpr 109 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
42 simpll 501 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
43 0z 8963 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
44 zdceq 9024 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
4542, 43, 44sylancl 407 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
46 ianordc 865 . . . . . 6 (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4745, 46syl 14 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4841, 47mpbid 146 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49 df-ne 2281 . . . . 5 (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
50 df-ne 2281 . . . . 5 (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
5149, 50orbi12i 736 . . . 4 ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
5248, 51sylibr 133 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
5330, 40, 52mpjaodan 770 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
541, 4, 8, 19, 53zsupcllemex 11481 1 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1312  wcel 1461  wne 2280  wral 2388  wrex 2389  {crab 2392   class class class wbr 3893  cfv 5079  cr 7540  0cc0 7541  1c1 7542   < clt 7718  cn 8624  cz 8952  cuz 9222  cdvds 11335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-fz 9678  df-fzo 9807  df-fl 9930  df-mod 9983  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-dvds 11336
This theorem is referenced by:  gcddvds  11494  dvdslegcd  11495
  Copyright terms: Public domain W3C validator