Theorem gcdsupex 11875

Description: Existence of the supremum used in defining gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupex	⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem gcdsupex

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9209	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2		breq1 3979	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3		breq1 3979	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
4	2, 3	anbi12d 465	. 2 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5		1dvds 11731	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6		1dvds 11731	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
7	5, 6	anim12i 336	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
8	7	adantr 274	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9		elnnuz 9493	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	biimpri 132	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11		simpll 519	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12		dvdsdc 11724	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
13	10, 11, 12	syl2an2 584	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑋)
14		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15		dvdsdc 11724	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
16	10, 14, 15	syl2an2 584	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑛 ∥ 𝑌)
17		dcan 923	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑛 ∥ 𝑋 → (DECID 𝑛 ∥ 𝑌 → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)))
18	13, 16, 17	sylc 62	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
19	18	adantlr 469	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
20		simplll 523	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℤ)
21		dvdsbnd 11874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
22		nnuz 9492	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	22	rexeqi 2664	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
24	21, 23	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
25		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑋)
26	25	intnanrd 922	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
27	26	ralimi 2527	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
28	27	reximi 2561	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
29	24, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
30	20, 29	sylancom 417	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
31		simpllr 524	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
32		dvdsbnd 11874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
33	22	rexeqi 2664	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
34	32, 33	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
35		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ 𝑛 ∥ 𝑌)
36	35	intnand 921	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
37	36	ralimi 2527	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
38	37	reximi 2561	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ 𝑛 ∥ 𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
39	34, 38	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
40	31, 39	sylancom 417	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
41		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
42		simpll 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
43		0z 9193	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
44		zdceq 9257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
45	42, 43, 44	sylancl 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
46		ianordc 889	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
48	41, 47	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49		df-ne 2335	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
50		df-ne 2335	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
51	49, 50	orbi12i 754	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
52	48, 51	sylibr 133	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
53	30, 40, 52	mpjaodan 788	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ¬ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌))
54	1, 4, 8, 19, 53	zsupcllemex 11864	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑋 ∧ 𝑛 ∥ 𝑌)}𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334  ∀wral 2442  ∃wrex 2443  {crab 2446   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  ℝcr 7743  0cc0 7744  1c1 7745   < clt 7924  ℕcn 8848  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457   ∥ cdvds 11713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714

This theorem is referenced by:  gcddvds  11881  dvdslegcd  11882