ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnwosdc GIF version

Theorem nnwosdc 12039
Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
nnwos.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
nnwosdc ((∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem nnwosdc
Dummy variables 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabn0m 3450 . . . . 5 (∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
2 ssrab2 3240 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ
32biantrur 303 . . . . 5 (∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
41, 3sylbb1 137 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
5 animorrl 826 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
6 df-dc 835 . . . . . . . 8 (DECID 𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ℕ))
75, 6sylibr 134 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑𝑗 ∈ ℕ) → DECID 𝑗 ∈ ℕ)
8 nfs1v 1939 . . . . . . . . . 10 𝑥[𝑗 / 𝑥]𝜑
98nfdc 1659 . . . . . . . . 9 𝑥DECID [𝑗 / 𝑥]𝜑
10 sbequ12 1771 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑗 → (𝜑 ↔ [𝑗 / 𝑥]𝜑))
1110dcbid 838 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑗 → (DECID 𝜑DECID [𝑗 / 𝑥]𝜑))
129, 11rspc 2835 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑DECID [𝑗 / 𝑥]𝜑))
1312impcom 125 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑𝑗 ∈ ℕ) → DECID [𝑗 / 𝑥]𝜑)
14 dcan2 934 . . . . . . 7 (DECID 𝑗 ∈ ℕ → (DECID [𝑗 / 𝑥]𝜑DECID (𝑗 ∈ ℕ ∧ [𝑗 / 𝑥]𝜑)))
157, 13, 14sylc 62 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑𝑗 ∈ ℕ) → DECID (𝑗 ∈ ℕ ∧ [𝑗 / 𝑥]𝜑))
16 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑥𝑗
17 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑥
1816, 17, 8, 10elrabf 2891 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ [𝑗 / 𝑥]𝜑))
1918dcbii 840 . . . . . 6 (DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ DECID (𝑗 ∈ ℕ ∧ [𝑗 / 𝑥]𝜑))
2015, 19sylibr 134 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑𝑗 ∈ ℕ) → DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
2120ralrimiva 2550 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑})
224, 21anim12i 338 . . 3 ((∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑) → (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
23 df-3an 980 . . 3 (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) ↔ (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
2422, 23sylibr 134 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑) → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}))
25 nfrab1 2656 . . . 4 𝑥{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
26 nfcv 2319 . . . 4 𝑦{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
2725, 26nnwofdc 12038 . . 3 (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) → ∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦)
28 df-rex 2461 . . . 4 (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦))
29 rabid 2652 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑))
30 df-ral 2460 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦))
31 nnwos.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
3231elrab 2893 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
3332imbi1i 238 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥𝑦))
34 impexp 263 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
3533, 34bitri 184 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
3635albii 1470 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
3730, 36bitri 184 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
3829, 37anbi12i 460 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
3938exbii 1605 . . . 4 (∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
40 df-ral 2460 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
4140anbi2i 457 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
42 anass 401 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
4341, 42bitr3i 186 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
4443exbii 1605 . . . . 5 (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
45 df-rex 2461 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
4644, 45bitr4i 187 . . . 4 (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
4728, 39, 463bitri 206 . . 3 (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
4827, 47sylib 122 . 2 (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
4924, 48syl 14 1 ((∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝜑) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978  wal 1351  wex 1492  [wsb 1762  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4003  cle 7992  cn 8918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-fzo 10142
This theorem is referenced by:  infpnlem2  12357
  Copyright terms: Public domain W3C validator