Theorem dcfi 7144

Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dcfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
2	1	dcbid 843	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
3		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
4	3	dcbid 843	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
5		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
6	5	dcbid 843	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
7		raleq 2728	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	dcbid 843	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
9		ral0 3593	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
10	9	orci 736	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
11		df-dc 840	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑)
15		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
16	15	eldifad 3208	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
17		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
18		nfsbc1v 3047	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
19	18	nfdc 1705	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑
20		sbceq1a 3038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
21	20	dcbid 843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
22	19, 21	rspc 2901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
23	16, 17, 22	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
24		ralsns 3704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
25	24	elv 2803	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
26	25	dcbii 845	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
27	23, 26	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
28	14, 27	dcand 938	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
29		ralunb 3385	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
30	29	dcbii 845	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
31	28, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
32	31	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
33		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → 𝐴 ∈ Fin)
34	2, 4, 6, 8, 13, 32, 33	findcard2sd 7050	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799  [wsbc 3028   ∖ cdif 3194   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666  Fincfn 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888

This theorem is referenced by:  prmdc  12647  psr1clfi  14646