Theorem dcfi 7040

Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dcfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2690	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
2	1	dcbid 839	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
3		raleq 2690	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
4	3	dcbid 839	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
5		raleq 2690	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
6	5	dcbid 839	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
7		raleq 2690	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	dcbid 839	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
9		ral0 3548	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
10	9	orci 732	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
11		df-dc 836	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑)
15		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
16	15	eldifad 3164	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
17		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
18		nfsbc1v 3004	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
19	18	nfdc 1670	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑
20		sbceq1a 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
21	20	dcbid 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
22	19, 21	rspc 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
23	16, 17, 22	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
24		ralsns 3656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
25	24	elv 2764	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
26	25	dcbii 841	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
27	23, 26	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
28	14, 27	dcand 934	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
29		ralunb 3340	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
30	29	dcbii 841	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
31	28, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
32	31	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
33		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → 𝐴 ∈ Fin)
34	2, 4, 6, 8, 13, 32, 33	findcard2sd 6948	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760  [wsbc 2985   ∖ cdif 3150   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  {csn 3618  Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  prmdc  12268