Theorem dcfi 7223

Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dcfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2731	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
2	1	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
3		raleq 2731	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
4	3	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
5		raleq 2731	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
6	5	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
7		raleq 2731	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
9		ral0 3598	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
10	9	orci 739	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
11		df-dc 843	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑)
15		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
16	15	eldifad 3212	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
17		simp-4r 544	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
18		nfsbc1v 3051	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
19	18	nfdc 1707	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑
20		sbceq1a 3042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
21	20	dcbid 846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
22	19, 21	rspc 2905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
23	16, 17, 22	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
24		ralsns 3711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
25	24	elv 2807	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
26	25	dcbii 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
27	23, 26	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
28	14, 27	dcand 941	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
29		ralunb 3390	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
30	29	dcbii 848	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
31	28, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
32	31	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
33		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → 𝐴 ∈ Fin)
34	2, 4, 6, 8, 13, 32, 33	findcard2sd 7124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803  [wsbc 3032   ∖ cdif 3198   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  {csn 3673  Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  prmdc  12765  psr1clfi  14772