Theorem dcfi 7098

Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dcfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2703	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
2	1	dcbid 840	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
3		raleq 2703	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
4	3	dcbid 840	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
5		raleq 2703	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
6	5	dcbid 840	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
7		raleq 2703	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	dcbid 840	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
9		ral0 3566	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
10	9	orci 733	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
11		df-dc 837	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑)
15		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
16	15	eldifad 3181	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
17		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
18		nfsbc1v 3021	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
19	18	nfdc 1683	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑
20		sbceq1a 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
21	20	dcbid 840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
22	19, 21	rspc 2875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
23	16, 17, 22	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
24		ralsns 3676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
25	24	elv 2777	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
26	25	dcbii 842	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
27	23, 26	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
28	14, 27	dcand 935	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
29		ralunb 3358	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
30	29	dcbii 842	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
31	28, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
32	31	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
33		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → 𝐴 ∈ Fin)
34	2, 4, 6, 8, 13, 32, 33	findcard2sd 7004	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773  [wsbc 3002   ∖ cdif 3167   ∪ cun 3168   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  {csn 3638  Fincfn 6840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-er 6633  df-en 6841  df-fin 6843

This theorem is referenced by:  prmdc  12527  psr1clfi  14525