Theorem dcfi 6937

Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem dcfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2659	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
2	1	dcbid 828	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
3		raleq 2659	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
4	3	dcbid 828	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑))
5		raleq 2659	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
6	5	dcbid 828	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
7		raleq 2659	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	dcbid 828	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑤 𝜑 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
9		ral0 3505	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
10	9	orci 721	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
11		df-dc 825	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
12	10, 11	mpbir 145	. . 3 ⊢ DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
14		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑)
15		simplrr 526	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
16	15	eldifad 3122	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ 𝐴)
17		simp-4r 532	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
18		nfsbc1v 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
19	18	nfdc 1646	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑
20		sbceq1a 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
21	20	dcbid 828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
22	19, 21	rspc 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
23	16, 17, 22	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
24		ralsnsg 3607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
25	24	elv 2725	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
26	25	dcbii 830	. . . . . 6 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 ↔ DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
27	23, 26	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
28		dcan 923	. . . . 5 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 → (DECID ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑 → DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)))
29	14, 27, 28	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
30		ralunb 3298	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
31	30	dcbii 830	. . . 4 ⊢ (DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ DECID (∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
32	29, 31	sylibr 133	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
33	32	ex 114	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (DECID ∀𝑥 ∈ 𝑦 𝜑 → DECID ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
34		simpl 108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → 𝐴 ∈ Fin)
35	2, 4, 6, 8, 13, 33, 34	findcard2sd 6849	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  Vcvv 2721  [wsbc 2946   ∖ cdif 3108   ∪ cun 3109   ⊆ wss 3111  ∅c0 3404  {csn 3570  Fincfn 6697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-er 6492  df-en 6698  df-fin 6700

This theorem is referenced by:  prmdc  12041