Theorem bitsinv1 12481

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 12477), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2		fzo0 10374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
4	3	ineq2d 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5		in0 3526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
7	6	sumeq1d 11885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8		sum0 11907	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10		oveq2 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11		2cn 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		exp0 10773	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	10, 13	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
15	14	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
16	9, 15	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
17	16	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18		oveq2 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
19	18	ineq2d 3405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
20	19	sumeq1d 11885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
22	21	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
23	20, 22	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
24	23	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25		oveq2 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
26	25	ineq2d 3405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
27	26	sumeq1d 11885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
29	28	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
30	27, 29	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
31	30	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32		oveq2 6015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
33	32	ineq2d 3405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
34	33	sumeq1d 11885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
36	35	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
37	34, 36	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
38	37	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39		nn0z 9474	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
40		zmod10 10570	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
42	41	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43		oveq1 6014	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44		fzonel 10365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46		disjsn 3728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
48	47	ineq2d 3405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49		inindi 3421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
50	48, 49, 5	3eqtr3g 2285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		nn0uz 9765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53	51, 52	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
54		fzosplitsn 10447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
56	55	ineq2d 3405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57		indi 3451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
58	56, 57	eqtrdi 2278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59		0z 9465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
60		nn0z 9474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
61	60	peano2zd 9580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
63		fzofig 10662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin)
64	59, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin)
65		inss2 3425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1)))
67	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
68		elfzonn0 10394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
70		bitsdc 12466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → DECID 𝑗 ∈ (bits‘𝑁))
71	67, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ (bits‘𝑁))
72	69	nn0zd 9575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
73		0zd 9466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
74	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
75		fzodcel 10357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
77	71, 76	dcand 938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
78		elin 3387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
79	78	dcbii 845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ DECID (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
80	77, 79	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
81	80	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
82		ssfidc 7107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
83	64, 66, 81, 82	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
84		2nn 9280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
85	84	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
86		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
87	86	elin2d 3394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
88		elfzouz 10355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
90	89, 52	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
91	85, 90	nnexpcld 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
92	91	nncnd 9132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
93	50, 58, 83, 92	fsumsplit 11926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
94		bitsinv1lem 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
95	39, 94	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
96		eqeq2 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
97		eqeq2 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
99	98	snssd 3813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
100		sseqin2 3423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
101	99, 100	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
102	101	sumeq1d 11885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104	84	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
105	104, 103	nnexpcld 10925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 9132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
107		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
108	107	sumsn 11930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
109	103, 106, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
110	102, 109	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
112		disjsn 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
114	113	sumeq1d 11885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
115	114, 8	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
116		bitsdc 12466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → DECID 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
117	39, 116	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → DECID 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
118	96, 97, 110, 115, 117	ifbothdadc 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
119	118	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
120	95, 119	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
121	93, 120	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
122	43, 121	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
123	122	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
124	123	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
125	17, 24, 31, 38, 42, 124	nn0ind 9569	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
126	125	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
127		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
128	127, 52	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
129	84	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
130	129, 127	nnexpcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
131	130	nnzd 9576	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
132		2z 9482	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
133		uzid 9744	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
135		bernneq3 10892	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
136	134, 135	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < (2↑𝑁))
137		elfzo2 10354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
138	128, 131, 136, 137	syl3anbrc 1205	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
139		bitsfzo 12474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
140	39, 127, 139	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
141	138, 140	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
142		dfss2 3214	. . . 4 ⊢ ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
143	141, 142	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
144	143	sumeq1d 11885	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
145		zq 9829	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
146	39, 145	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℚ)
147		zexpcl 10784	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
148	132, 147	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
149		zq 9829	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∈ ℚ)
150	148, 149	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℚ)
151		nn0ge0 9402	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
152		modqid 10579	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
153	146, 150, 151, 136, 152	syl22anc 1272	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
154	126, 144, 153	3eqtr3d 2270	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   ≤ cle 8190  ℕcn 9118  2c2 9169  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ℚcq 9822  ..^cfzo 10346   mod cmo 10552  ↑cexp 10768  Σcsu 11872  bitscbits 12459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-dvds 12307  df-bits 12460

This theorem is referenced by: (None)