Theorem bitsinv1 12459

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 12455), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2		fzo0 10354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
4	3	ineq2d 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5		in0 3526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
7	6	sumeq1d 11863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8		sum0 11885	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10		oveq2 6002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11		2cn 9169	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		exp0 10752	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	10, 13	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
15	14	oveq2d 6010	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
16	9, 15	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
17	16	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18		oveq2 6002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
19	18	ineq2d 3405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
20	19	sumeq1d 11863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21		oveq2 6002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
22	21	oveq2d 6010	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
23	20, 22	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
24	23	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25		oveq2 6002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
26	25	ineq2d 3405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
27	26	sumeq1d 11863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28		oveq2 6002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
29	28	oveq2d 6010	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
30	27, 29	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
31	30	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32		oveq2 6002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
33	32	ineq2d 3405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
34	33	sumeq1d 11863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35		oveq2 6002	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
36	35	oveq2d 6010	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
37	34, 36	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
38	37	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39		nn0z 9454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
40		zmod10 10549	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
42	41	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43		oveq1 6001	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44		fzonel 10345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46		disjsn 3728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
48	47	ineq2d 3405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49		inindi 3421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
50	48, 49, 5	3eqtr3g 2285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		nn0uz 9745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53	51, 52	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
54		fzosplitsn 10426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
56	55	ineq2d 3405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57		indi 3451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
58	56, 57	eqtrdi 2278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59		0z 9445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
60		nn0z 9454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
61	60	peano2zd 9560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
63		fzofig 10641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin)
64	59, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin)
65		inss2 3425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1)))
67	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
68		elfzonn0 10374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
70		bitsdc 12444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → DECID 𝑗 ∈ (bits‘𝑁))
71	67, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ (bits‘𝑁))
72	69	nn0zd 9555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
73		0zd 9446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
74	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
75		fzodcel 10337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
77	71, 76	dcand 938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
78		elin 3387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
79	78	dcbii 845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ DECID (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
80	77, 79	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
81	80	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
82		ssfidc 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
83	64, 66, 81, 82	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
84		2nn 9260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
85	84	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
86		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
87	86	elin2d 3394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
88		elfzouz 10335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
90	89, 52	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
91	85, 90	nnexpcld 10904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
92	91	nncnd 9112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
93	50, 58, 83, 92	fsumsplit 11904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
94		bitsinv1lem 12458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
95	39, 94	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
96		eqeq2 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
97		eqeq2 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
99	98	snssd 3812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
100		sseqin2 3423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
101	99, 100	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
102	101	sumeq1d 11863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104	84	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
105	104, 103	nnexpcld 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 9112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
107		oveq2 6002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
108	107	sumsn 11908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
109	103, 106, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
110	102, 109	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
112		disjsn 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
114	113	sumeq1d 11863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
115	114, 8	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
116		bitsdc 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → DECID 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
117	39, 116	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → DECID 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
118	96, 97, 110, 115, 117	ifbothdadc 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
119	118	oveq2d 6010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
120	95, 119	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
121	93, 120	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
122	43, 121	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
123	122	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
124	123	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
125	17, 24, 31, 38, 42, 124	nn0ind 9549	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
126	125	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
127		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
128	127, 52	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
129	84	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
130	129, 127	nnexpcld 10904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
131	130	nnzd 9556	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
132		2z 9462	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
133		uzid 9724	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
135		bernneq3 10871	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
136	134, 135	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < (2↑𝑁))
137		elfzo2 10334	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
138	128, 131, 136, 137	syl3anbrc 1205	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
139		bitsfzo 12452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
140	39, 127, 139	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
141	138, 140	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
142		dfss2 3214	. . . 4 ⊢ ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
143	141, 142	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
144	143	sumeq1d 11863	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
145		zq 9809	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
146	39, 145	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℚ)
147		zexpcl 10763	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
148	132, 147	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
149		zq 9809	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∈ ℚ)
150	148, 149	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℚ)
151		nn0ge0 9382	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
152		modqid 10558	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
153	146, 150, 151, 136, 152	syl22anc 1272	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
154	126, 144, 153	3eqtr3d 2270	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  Fincfn 6877  ℂcc 7985  0cc0 7987  1c1 7988   + caddc 7990   < clt 8169   ≤ cle 8170  ℕcn 9098  2c2 9149  ℕ₀cn0 9357  ℤcz 9434  ℤ_≥cuz 9710  ℚcq 9802  ..^cfzo 10326   mod cmo 10531  ↑cexp 10747  Σcsu 11850  bitscbits 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-dvds 12285  df-bits 12438

This theorem is referenced by: (None)