Theorem bitsinv1 12129

Description: There is an explicit inverse to the bits function for nonnegative integers (which can be extended to negative integers using bitscmp 12125), part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem bitsinv1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = (0..^0))
2		fzo0 10246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (0..^𝑥) = ∅)
4	3	ineq2d 3365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
5		in0 3486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ∅)
7	6	sumeq1d 11533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
8		sum0 11555	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = 0)
10		oveq2 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = (2↑0))
11		2cn 9063	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		exp0 10637	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
14	10, 13	eqtrdi 2245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2↑𝑥) = 1)
15	14	oveq2d 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod 1))
16	9, 15	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ 0 = (𝑁 mod 1)))
17	16	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))))
18		oveq2 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0..^𝑥) = (0..^𝑘))
19	18	ineq2d 3365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)))
20	19	sumeq1d 11533	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛))
21		oveq2 5931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (2↑𝑥) = (2↑𝑘))
22	21	oveq2d 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))
23	20, 22	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))))
24	23	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)))))
25		oveq2 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑘 + 1)))
26	25	ineq2d 3365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
27	26	sumeq1d 11533	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛))
28		oveq2 5931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑘 + 1)))
29	28	oveq2d 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))
30	27, 29	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
31	30	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
32		oveq2 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (0..^𝑥) = (0..^𝑁))
33	32	ineq2d 3365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥)) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)))
34	33	sumeq1d 11533	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛))
35		oveq2 5931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
36	35	oveq2d 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 mod (2↑𝑥)) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
37	34, 36	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥)) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
38	37	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑥))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑥))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))))
39		nn0z 9348	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
40		zmod10 10434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 1) = 0)
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 1) = 0)
42	41	eqcomd 2202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 = (𝑁 mod 1))
43		oveq1 5930	. . . . . . 7 ⊢ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
44		fzonel 10238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘)
45	44	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
46		disjsn 3685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑘))
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0..^𝑘) ∩ {𝑘}) = ∅)
48	47	ineq2d 3365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = ((bits‘𝑁) ∩ ∅))
49		inindi 3381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∩ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
50	48, 49, 5	3eqtr3g 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∩ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})) = ∅)
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		nn0uz 9638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53	51, 52	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
54		fzosplitsn 10311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) = ((0..^𝑘) ∪ {𝑘}))
56	55	ineq2d 3365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})))
57		indi 3411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ ((0..^𝑘) ∪ {𝑘})) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}))
58	56, 57	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) = (((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘)) ∪ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})))
59		0z 9339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
60		nn0z 9348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
61	60	peano2zd 9453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
63		fzofig 10526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin)
64	59, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin)
65		inss2 3385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1))
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1)))
67	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
68		elfzonn0 10264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
70		bitsdc 12114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → DECID 𝑗 ∈ (bits‘𝑁))
71	67, 69, 70	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ (bits‘𝑁))
72	69	nn0zd 9448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
73		0zd 9340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
74	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
75		fzodcel 10230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
76	72, 73, 74, 75	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
77	71, 76	dcand 934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
78		elin 3347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
79	78	dcbii 841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ↔ DECID (𝑗 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))))
80	77, 79	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))) → DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
81	80	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
82		ssfidc 6999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0..^(𝑘 + 1)) ∈ Fin ∧ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ⊆ (0..^(𝑘 + 1)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑘 + 1))DECID 𝑗 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
83	64, 66, 81, 82	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))) ∈ Fin)
84		2nn 9154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
85	84	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 2 ∈ ℕ)
86		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1))))
87	86	elin2d 3354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)))
88		elfzouz 10228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(𝑘 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
89	87, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
90	89, 52	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
91	85, 90	nnexpcld 10789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
92	91	nncnd 9006	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
93	50, 58, 83, 92	fsumsplit 11574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
94		bitsinv1lem 12128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
95	39, 94	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
96		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑𝑘) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘) ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
97		eqeq2 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
99	98	snssd 3768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → {𝑘} ⊆ (bits‘𝑁))
100		sseqin2 3383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑘} ⊆ (bits‘𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
101	99, 100	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = {𝑘})
102	101	sumeq1d 11533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛))
103		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104	84	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
105	104, 103	nnexpcld 10789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 9006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
107		oveq2 5931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
108	107	sumsn 11578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
109	103, 106, 108	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ {𝑘} (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
110	102, 109	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = (2↑𝑘))
111		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
112		disjsn 3685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅ ↔ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
113	111, 112	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘}) = ∅)
114	113	sumeq1d 11533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2↑𝑛))
115	114, 8	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (bits‘𝑁)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = 0)
116		bitsdc 12114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → DECID 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
117	39, 116	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → DECID 𝑘 ∈ (bits‘𝑁))
118	96, 97, 110, 115, 117	ifbothdadc 3594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛) = if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0))
119	118	oveq2d 5939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + if(𝑘 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑘), 0)))
120	95, 119	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)))
121	93, 120	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))) ↔ (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛)) = ((𝑁 mod (2↑𝑘)) + Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ {𝑘})(2↑𝑛))))
122	43, 121	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1)))))
123	122	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘)) → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
124	123	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑘))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^(𝑘 + 1)))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑(𝑘 + 1))))))
125	17, 24, 31, 38, 42, 124	nn0ind 9442	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁))))
126	125	pm2.43i 49	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = (𝑁 mod (2↑𝑁)))
127		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
128	127, 52	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
129	84	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
130	129, 127	nnexpcld 10789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
131	130	nnzd 9449	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
132		2z 9356	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
133		uzid 9617	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
135		bernneq3 10756	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
136	134, 135	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 < (2↑𝑁))
137		elfzo2 10227	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑁)))
138	128, 131, 136, 137	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)))
139		bitsfzo 12122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
140	39, 127, 139	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁)))
141	138, 140	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁))
142		dfss2 3174	. . . 4 ⊢ ((bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
143	141, 142	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (bits‘𝑁))
144	143	sumeq1d 11533	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑁))(2↑𝑛) = Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛))
145		zq 9702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
146	39, 145	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℚ)
147		zexpcl 10648	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
148	132, 147	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
149		zq 9702	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℤ → (2↑𝑁) ∈ ℚ)
150	148, 149	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℚ)
151		nn0ge0 9276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
152		modqid 10443	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (2↑𝑁))) → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
153	146, 150, 151, 136, 152	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 mod (2↑𝑁)) = 𝑁)
154	126, 144, 153	3eqtr3d 2237	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (bits‘𝑁)(2↑𝑛) = 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  ifcif 3562  {csn 3623   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Fincfn 6800  ℂcc 7879  0cc0 7881  1c1 7882   + caddc 7884   < clt 8063   ≤ cle 8064  ℕcn 8992  2c2 9043  ℕ₀cn0 9251  ℤcz 9328  ℤ_≥cuz 9603  ℚcq 9695  ..^cfzo 10219   mod cmo 10416  ↑cexp 10632  Σcsu 11520  bitscbits 12107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-ihash 10870  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521  df-dvds 11955  df-bits 12108

This theorem is referenced by: (None)