Theorem lcmledvds 12771

Description: A positive integer which both operands of the lcm operator divide bounds it. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmledvds	⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))

Proof of Theorem lcmledvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmn0val 12767	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
2	1	3adantl1 1180	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ))
4		1zzd 9606	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
5		nnuz 9893	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	5	rabeqi 2808	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}
7		breq2 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝐾))
8		breq2 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))
9	7, 8	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
10		simpll1 1063	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))
12	9, 10, 11	elrabd 2977	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
13		simpll2 1064	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		elfzelz 10362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝐾) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℤ)
16		zdvdsdc 12502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑛)
17	13, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → DECID 𝑀 ∥ 𝑛)
18		simpll3 1065	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		zdvdsdc 12502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ 𝑛)
20	18, 15, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → DECID 𝑁 ∥ 𝑛)
21	17, 20	dcand 941	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → DECID (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))
22	21	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → DECID (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))
23	4, 6, 12, 22	infssuzledc 10598	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
24	3, 23	eqbrtrd 4133	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾)
25	24	ex 115	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  infcinf 7276  ℝcr 8128  0cc0 8129  1c1 8130   < clt 8310   ≤ cle 8311  ℕcn 9239  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856  ...cfz 10345   ∥ cdvds 12477   lcm clcm 12761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-dvds 12478  df-lcm 12762

This theorem is referenced by:  lcmneg  12775