Theorem pclemdc 12242

Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
pclemdc	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pclemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0dc 9570	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
2	1	ad2antlr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
3		eluzelz 9496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6		zexpcl 10491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
8		simprl 526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		zdvdsdc 11774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
11	7, 9, 10	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
12		dcan2 929	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℕ0 → (DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁 → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
13	2, 11, 12	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
14		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
15	14	breq1d 3999	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
16		pclem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
17	15, 16	elrab2 2889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
18	17	dcbii 835	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
19	13, 18	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
20		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑥 ∈ ℕ0)
21	20	intnanrd 927	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
22	21	olcd 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
23		df-dc 830	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
24	22, 23	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
25	24, 18	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
26		exmiddc 831	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
27	1, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
28	27	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
29	19, 25, 28	mpjaodan 793	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
30	29	ralrimiva 2543	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  {crab 2452   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  0cc0 7774  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ↑cexp 10475   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  pcprecl  12243  pcprendvds  12244  pcpremul  12247