Theorem pclemdc 12179

Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
pclemdc	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pclemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0dc 9528	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
2	1	ad2antlr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
3		eluzelz 9454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
6		zexpcl 10444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
8		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		zdvdsdc 11720	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
11	7, 9, 10	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
12		dcan 919	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℕ0 → (DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁 → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
13	2, 11, 12	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
14		oveq2 5835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
15	14	breq1d 3977	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
16		pclem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
17	15, 16	elrab2 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
18	17	dcbii 826	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
19	13, 18	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
20		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑥 ∈ ℕ0)
21	20	intnanrd 918	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
22	21	olcd 724	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
23		df-dc 821	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
24	22, 23	sylibr 133	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
25	24, 18	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
26		exmiddc 822	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
27	1, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
28	27	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
29	19, 25, 28	mpjaodan 788	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
30	29	ralrimiva 2530	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∀wral 2435  {crab 2439   class class class wbr 3967  ‘cfv 5173  (class class class)co 5827  0cc0 7735  2c2 8890  ℕ₀cn0 9096  ℤcz 9173  ℤ_≥cuz 9445  ↑cexp 10428   ∥ cdvds 11695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-frec 6341  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fl 10179  df-mod 10232  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-dvds 11696

This theorem is referenced by:  pcprecl  12180  pcprendvds  12181  pcpremul  12184