Theorem pclemdc 12320

Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
pclemdc	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pclemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0dc 9641	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
2	1	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
3		eluzelz 9567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		zexpcl 10566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
6	4, 5	sylancom 420	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
7		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		zdvdsdc 11851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
11	2, 10	dcand 934	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
12		oveq2 5904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
13	12	breq1d 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
14		pclem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
15	13, 14	elrab2 2911	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
16	15	dcbii 841	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
17	11, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑥 ∈ ℕ0)
19	18	intnanrd 933	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
20	19	olcd 735	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
21		df-dc 836	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
22	20, 21	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
23	22, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
24		exmiddc 837	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
25	1, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
26	25	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
27	17, 23, 26	mpjaodan 799	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28	27	ralrimiva 2563	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∀wral 2468  {crab 2472   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  0cc0 7841  2c2 9000  ℕ₀cn0 9206  ℤcz 9283  ℤ_≥cuz 9558  ↑cexp 10550   ∥ cdvds 11826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-dvds 11827

This theorem is referenced by:  pcprecl  12321  pcprendvds  12322  pcpremul  12325