Theorem pclemdc 12863

Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
pclemdc	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pclemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0dc 9845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
2	1	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
3		eluzelz 9765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		zexpcl 10817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
6	4, 5	sylancom 420	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
7		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		zdvdsdc 12375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
11	2, 10	dcand 940	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
12		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
13	12	breq1d 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
14		pclem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
15	13, 14	elrab2 2965	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
16	15	dcbii 847	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
17	11, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑥 ∈ ℕ0)
19	18	intnanrd 939	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
20	19	olcd 741	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
21		df-dc 842	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
22	20, 21	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
23	22, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
24		exmiddc 843	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
25	1, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
26	25	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
27	17, 23, 26	mpjaodan 805	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28	27	ralrimiva 2605	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  {crab 2514   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032  2c2 9194  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ↑cexp 10801   ∥ cdvds 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-dvds 12351

This theorem is referenced by:  pcprecl  12864  pcprendvds  12865  pcpremul  12868