Theorem pclemdc 12832

Description: Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
pclemdc	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁,𝑥   𝑃,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pclemdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0dc 9823	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
2	1	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ ℕ0)
3		eluzelz 9748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		zexpcl 10793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
6	4, 5	sylancom 420	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑥) ∈ ℤ)
7		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		zdvdsdc 12344	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)
11	2, 10	dcand 938	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
12		oveq2 6018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑥))
13	12	breq1d 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
14		pclem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
15	13, 14	elrab2 2962	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
16	15	dcbii 845	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
17	11, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ 𝑥 ∈ ℕ0)
19	18	intnanrd 937	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
20	19	olcd 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
21		df-dc 840	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁) ∨ ¬ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁)))
22	20, 21	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁))
23	22, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
24		exmiddc 841	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
25	1, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
26	25	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑥 ∈ ℕ0))
27	17, 23, 26	mpjaodan 803	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
28	27	ralrimiva 2603	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℤ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  {crab 2512   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  0cc0 8015  2c2 9177  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ↑cexp 10777   ∥ cdvds 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-dvds 12320

This theorem is referenced by:  pcprecl  12833  pcprendvds  12834  pcpremul  12837