ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmval GIF version

Theorem lcmval 12063
Description: Value of the lcm operator. (๐‘€ lcm ๐‘) is the least common multiple of ๐‘€ and ๐‘. If either ๐‘€ or ๐‘ is 0, the result is defined conventionally as 0. Contrast with df-gcd 11944 and gcdval 11960. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmval ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem lcmval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lcm 12061 . . 3 lcm = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
21a1i 9 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ lcm = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ))))
3 eqeq1 2184 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†” ๐‘€ = 0))
43orbi1d 791 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0) โ†” (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0)))
5 breq1 4007 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘›))
65anbi1d 465 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)))
76rabbidv 2727 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)})
87infeq1d 7011 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ) = inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ))
94, 8ifbieq2d 3559 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ if((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )) = if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
10 eqeq1 2184 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ = 0 โ†” ๐‘ = 0))
1110orbi2d 790 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0) โ†” (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
12 breq1 4007 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘›))
1312anbi2d 464 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)))
1413rabbidv 2727 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
1514infeq1d 7011 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ) = inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ))
1611, 15ifbieq2d 3559 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )) = if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
179, 16sylan9eq 2230 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐‘€ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘) โ†’ if((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )) = if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
1817adantl 277 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘€ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘)) โ†’ if((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )) = if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
19 simpl 109 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
20 simpr 110 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21 c0ex 7951 . . . 4 0 โˆˆ V
2221a1i 9 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ 0 โˆˆ V)
23 1zzd 9280 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
24 nnuz 9563 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
25 rabeq 2730 . . . . . 6 (โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}
27 dvdsmul1 11820 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
2827adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
29 simpll 527 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
30 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3129, 30zmulcld 9381 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
32 dvdsabsb 11817 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))))
3329, 31, 32syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))))
3428, 33mpbid 147 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
35 dvdsmul2 11821 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
3635adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
37 dvdsabsb 11817 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))))
3830, 31, 37syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))))
3936, 38mpbid 147 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
4029zcnd 9376 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4130zcnd 9376 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4240, 41absmuld 11203 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)))
43 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
44 ioran 752 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†” (ยฌ ๐‘€ = 0 โˆง ยฌ ๐‘ = 0))
4543, 44sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 0 โˆง ยฌ ๐‘ = 0))
4645simpld 112 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ยฌ ๐‘€ = 0)
4746neqned 2354 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
48 nnabscl 11109 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
4929, 47, 48syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
5045simprd 114 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
5150neqned 2354 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
52 nnabscl 11109 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
5330, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
5449, 53nnmulcld 8968 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
5542, 54eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•)
56 breq2 4008 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))))
57 breq2 4008 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))))
5856, 57anbi12d 473 . . . . . . . 8 (๐‘› = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))))
5958elrab3 2895 . . . . . . 7 ((absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„• โ†’ ((absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} โ†” (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))))
6055, 59syl 14 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} โ†” (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆฅ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))))
6134, 39, 60mpbir2and 944 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆˆ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
62 elfzelz 10025 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (1...(absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
63 zdvdsdc 11819 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘€ โˆฅ ๐‘›)
6429, 62, 63syl2an 289 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))) โ†’ DECID ๐‘€ โˆฅ ๐‘›)
65 zdvdsdc 11819 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ โˆฅ ๐‘›)
6630, 62, 65syl2an 289 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))) โ†’ DECID ๐‘ โˆฅ ๐‘›)
67 dcan2 934 . . . . . 6 (DECID ๐‘€ โˆฅ ๐‘› โ†’ (DECID ๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†’ DECID (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)))
6864, 66, 67sylc 62 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))) โ†’ DECID (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›))
6923, 26, 61, 68infssuzcldc 11952 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
7069elexd 2751 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ) โˆˆ V)
71 lcmmndc 12062 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
7222, 70, 71ifcldadc 3564 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )) โˆˆ V)
732, 18, 19, 20, 72ovmpod 6002 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  {crab 2459  Vcvv 2738  ifcif 3535   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   โˆˆ cmpo 5877  infcinf 6982  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816   < clt 7992  โ„•cn 8919  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  ...cfz 10008  abscabs 11006   โˆฅ cdvds 11794   lcm clcm 12060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-lcm 12061
This theorem is referenced by:  lcmcom  12064  lcm0val  12065  lcmn0val  12066  lcmass  12085
  Copyright terms: Public domain W3C validator