Theorem prmdc 12695

Description: Primality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prmdc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem prmdc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nuz2 9833	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ (ℤ≥‘2)
2		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	1, 2	mtbiri 679	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
4	3	orim1i 765	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
5	4	orcomd 734	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
6		elnn1uz2 9834	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
7		df-dc 840	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		2z 9500	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
11		nnz 9491	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		peano2zm 9510	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14	10, 13	fzfigd 10686	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
15		elfzelz 10253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
17		1red 8187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
18		2re 9206	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
19	18	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ ℝ)
20	16	zred 9595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		1le2 9345	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 2
22	21	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 2)
23		elfzle1 10255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 2 ≤ 𝑥)
24	23	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ≤ 𝑥)
25	17, 19, 20, 22, 24	letrd 8296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝑥)
26		elnnz1 9495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑥))
27	16, 25, 26	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
28	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		dvdsdc 12352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∥ 𝑁)
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → DECID 𝑥 ∥ 𝑁)
31		dcn 847	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∥ 𝑁 → DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
32	30, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
33	32	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
34		dcfi 7174	. . . 4 ⊢ (((2...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) → DECID ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
35	14, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
36	8, 35	dcand 938	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
37		isprm3 12683	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	dcbii 845	. 2 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ ℙ ↔ DECID (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
39	36, 38	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID 𝑁 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  ℝcr 8024  1c1 8026   ≤ cle 8208   − cmin 8343  ℕcn 9136  2c2 9187  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748  ...cfz 10236   ∥ cdvds 12341  ℙcprime 12672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-prm 12673

This theorem is referenced by:  pcmptcl  12908  pcmpt  12909  1arith  12933  prminf  13069  lgsval  15726  lgsfvalg  15727  lgsfcl2  15728  lgsval2lem  15732  lgsval4lem  15733  lgsneg  15746  lgsmod  15748  lgsdir  15757  lgsdilem2  15758  lgsdi  15759  lgsne0  15760