Theorem prmdc 12673

Description: Primality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prmdc	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem prmdc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nuz2 9818	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ (ℤ≥‘2)
2		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	1, 2	mtbiri 679	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
4	3	orim1i 765	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
5	4	orcomd 734	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
6		elnn1uz2 9819	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
7		df-dc 840	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		2z 9490	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
11		nnz 9481	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		peano2zm 9500	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14	10, 13	fzfigd 10670	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
15		elfzelz 10238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
17		1red 8177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
18		2re 9196	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
19	18	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ∈ ℝ)
20	16	zred 9585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		1le2 9335	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 2
22	21	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 2)
23		elfzle1 10240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) → 2 ≤ 𝑥)
24	23	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 2 ≤ 𝑥)
25	17, 19, 20, 22, 24	letrd 8286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝑥)
26		elnnz1 9485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑥))
27	16, 25, 26	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
28	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		dvdsdc 12330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∥ 𝑁)
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → DECID 𝑥 ∥ 𝑁)
31		dcn 847	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∥ 𝑁 → DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
32	30, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))) → DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
33	32	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
34		dcfi 7164	. . . 4 ⊢ (((2...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1))DECID ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) → DECID ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
35	14, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
36	8, 35	dcand 938	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
37		isprm3 12661	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	dcbii 845	. 2 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ ℙ ↔ DECID (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
39	36, 38	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → DECID 𝑁 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Fincfn 6900  ℝcr 8014  1c1 8016   ≤ cle 8198   − cmin 8333  ℕcn 9126  2c2 9177  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221   ∥ cdvds 12319  ℙcprime 12650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-dvds 12320  df-prm 12651

This theorem is referenced by:  pcmptcl  12886  pcmpt  12887  1arith  12911  prminf  13047  lgsval  15704  lgsfvalg  15705  lgsfcl2  15706  lgsval2lem  15710  lgsval4lem  15711  lgsneg  15724  lgsmod  15726  lgsdir  15735  lgsdilem2  15736  lgsdi  15737  lgsne0  15738