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Theorem gcdaddm 11952
Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdaddm ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Proof of Theorem gcdaddm
StepHypRef Expression
1 gcddvds 11931 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
213adant1 1015 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
32simpld 112 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
4 simp1 997 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
5 1zzd 9253 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
6 gcdcl 11934 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
763adant1 1015 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
87nn0zd 9346 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
9 simp2 998 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 simp3 999 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 dvds2ln 11799 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
124, 5, 8, 9, 10, 11syl23anc 1245 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
132, 12mpd 13 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)))
1410zcnd 9349 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514mulid2d 7950 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
1615oveq2d 5881 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
1713, 16breqtrd 4024 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
183, 17jca 306 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
194, 9zmulcld 9354 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
2019, 10zaddcld 9352 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)
21 dvdslegcd 11932 . . . . . . . 8 ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
2221ex 115 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
238, 9, 20, 22syl3anc 1238 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
2418, 23mpid 42 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
25 gcddvds 11931 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
269, 20, 25syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
2726simpld 112 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀)
284znegcld 9350 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
299, 20gcdcld 11936 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ0)
3029nn0zd 9346 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ)
31 dvds2ln 11799 . . . . . . . . . 10 (((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3228, 5, 30, 9, 20, 31syl23anc 1245 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
3326, 32mpd 13 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
344zcnd 9349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
359zcnd 9349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
3634, 35mulneg1d 8342 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
3720zcnd 9349 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ)
3837mulid2d 7950 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
3936, 38oveq12d 5883 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
4034, 35mulcld 7952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
4140negcld 8229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
4240, 41addcomd 8082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + -(𝐾 · 𝑀)) = (-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)))
4340negidd 8232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + -(𝐾 · 𝑀)) = 0)
4442, 43eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) = 0)
4544oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (0 + 𝑁))
4641, 40, 14addassd 7954 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
4714addid2d 8081 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
4845, 46, 473eqtr3d 2216 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = 𝑁)
4939, 48eqtrd 2208 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = 𝑁)
5033, 49breqtrd 4024 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁)
5127, 50jca 306 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁))
52 dvdslegcd 11932 . . . . . . . 8 ((((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
5352ex 115 . . . . . . 7 (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
5430, 9, 10, 53syl3anc 1238 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
5551, 54mpid 42 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
5624, 55anim12d 335 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
577nn0red 9203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
5829nn0red 9203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℝ)
5957, 58letri3d 8047 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
6056, 59sylibrd 169 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
61 0zd 9238 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
62 zdceq 9301 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
639, 61, 62syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
64 zdceq 9301 . . . . . . 7 ((((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)
6520, 61, 64syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)
66 dcan2 934 . . . . . 6 (DECID 𝑀 = 0 → (DECID ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0 → DECID (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)))
6763, 65, 66sylc 62 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0))
68 zdceq 9301 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
6910, 61, 68syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
70 dcan2 934 . . . . . 6 (DECID 𝑀 = 0 → (DECID 𝑁 = 0 → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
7163, 69, 70sylc 62 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
72 orandc 939 . . . . 5 ((DECID (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ↔ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
7367, 71, 72syl2anc 411 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ↔ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
74 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
7574oveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 · 𝑀) = (𝐾 · 0))
7634mul01d 8324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 0) = 0)
7776adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 · 0) = 0)
7875, 77eqtrd 2208 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 · 𝑀) = 0)
7978oveq1d 5880 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (0 + 𝑁))
8047adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
8179, 80eqtrd 2208 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 𝑁)
8281eqeq1d 2184 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
8382pm5.32da 452 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
84 oveq12 5874 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
8584adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
86 oveq12 5874 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
8783, 86syl6bir 164 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0)))
8887imp 124 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
8985, 88eqtr4d 2211 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
9089ex 115 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
9183, 90sylbid 150 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
9291, 90jaod 717 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
9373, 92sylbird 170 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
94 dcn 842 . . . . . 6 (DECID (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0))
9567, 94syl 14 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0))
96 dcn 842 . . . . . 6 (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
9771, 96syl 14 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
98 dcan2 934 . . . . 5 (DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → DECID (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
9995, 97, 98sylc 62 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
100 exmiddc 836 . . . 4 (DECID (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∨ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
10199, 100syl 14 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∨ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
10260, 93, 101mpjaod 718 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
10340, 14addcomd 8082 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
104103oveq2d 5881 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
105102, 104eqtrd 2208 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791  cle 7967  -cneg 8103  0cn0 9149  cz 9226  cdvds 11762   gcd cgcd 11910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911
This theorem is referenced by:  gcdadd  11953  gcdid  11954  modgcd  11959  gcdmultipled  11961  gcdmultiple  11988  pythagtriplem4  12235
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