gcdaddm - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > gcdaddm		GIF version

Theorem gcdaddm 12151

Description: Adding a multiple of one operand of the gcd operator to the other does not alter the result. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
gcdaddm	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

**Proof of Theorem gcdaddm**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcddvds 12130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2	1	3adant1 1017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3	2	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
4		simp1 999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		1zzd 9353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
6		gcdcl 12133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
7	6	3adant1 1017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
8	7	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
9		simp2 1000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		simp3 1001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		dvds2ln 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
12	4, 5, 8, 9, 10, 11	syl23anc 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁))))
13	2, 12	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)))
14	10	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	mulid2d 8045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
16	15	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + (1 · 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
17	13, 16	breqtrd 4059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
18	3, 17	jca 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
19	4, 9	zmulcld 9454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
20	19, 10	zaddcld 9452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)
21		dvdslegcd 12131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
22	21	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
23	8, 9, 20, 22	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
24	18, 23	mpid 42	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
25		gcddvds 12130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
26	9, 20, 25	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
27	26	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀)
28	4	znegcld 9450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
29	9, 20	gcdcld 12135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℕ₀)
30	29	nn0zd 9446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ)
31		dvds2ln 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
32	28, 5, 30, 9, 20, 31	syl23anc 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))))
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
34	4	zcnd 9449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
35	9	zcnd 9449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
36	34, 35	mulneg1d 8437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
37	20	zcnd 9449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℂ)
38	37	mulid2d 8045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))
39	36, 38	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
40	34, 35	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
41	40	negcld 8324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐾 · 𝑀) ∈ ℂ)
42	40, 41	addcomd 8177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + -(𝐾 · 𝑀)) = (-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)))
43	40	negidd 8327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + -(𝐾 · 𝑀)) = 0)
44	42, 43	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) = 0)
45	44	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (0 + 𝑁))
46	41, 40, 14	addassd 8049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-(𝐾 · 𝑀) + (𝐾 · 𝑀)) + 𝑁) = (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
47	14	addlidd 8176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
48	45, 46, 47	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-(𝐾 · 𝑀) + ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = 𝑁)
49	39, 48	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-𝐾 · 𝑀) + (1 · ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))) = 𝑁)
50	33, 49	breqtrd 4059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁)
51	27, 50	jca 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁))
52		dvdslegcd 12131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
53	52	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
54	30, 53	syld3an1 1295	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∥ 𝑁) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
55	51, 54	mpid 42	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
56	24, 55	anim12d 335	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
57	7	nn0red 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
58	29	nn0red 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∈ ℝ)
59	57, 58	letri3d 8142	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ≤ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ∧ (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) ≤ (𝑀 gcd 𝑁))))
60	56, 59	sylibrd 169	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
61		0zd 9338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
62		zdceq 9401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
63	9, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
64		zdceq 9401	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)
65	20, 61, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0)
66	63, 65	dcand 934	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0))
67		zdceq 9401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
68	10, 61, 67	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
69	63, 68	dcand 934	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
70		orandc 941	. . . . 5 ⊢ ((DECID (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ↔ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
71	66, 69, 70	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ↔ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
73	72	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 · 𝑀) = (𝐾 · 0))
74	34	mul01d 8419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 0) = 0)
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 · 0) = 0)
76	73, 75	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 · 𝑀) = 0)
77	76	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (0 + 𝑁))
78	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
79	77, 78	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 𝑁)
80	79	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
81	80	pm5.32da 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
82		oveq12 5931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
83	82	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
84		oveq12 5931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
85	81, 84	biimtrrdi 164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0)))
86	85	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (0 gcd 0))
87	83, 86	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
88	87	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
89	81, 88	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
90	89, 88	jaod 718	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∨ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
91	71, 90	sylbird 170	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁))))
92		dcn 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0))
93	66, 92	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0))
94		dcn 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
95	69, 94	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
96	93, 95	dcand 934	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
97		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∨ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
98	96, 97	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∨ ¬ (¬ (𝑀 = 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = 0) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))))
99	60, 91, 98	mpjaod 719	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)))
100	40, 14	addcomd 8177	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁) = (𝑁 + (𝐾 · 𝑀)))
101	100	oveq2d 5938	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐾 · 𝑀) + 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))
102	99, 101	eqtrd 2229	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd (𝑁 + (𝐾 · 𝑀))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 DECID wdc 835 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 class class class wbr 4033 (class class class)co 5922 0cc0 7879 1c1 7880 + caddc 7882 · cmul 7884 ≤ cle 8062 -cneg 8198 ℕ₀cn0 9249 ℤcz 9326 ∥ cdvds 11952 gcd cgcd 12120

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121

This theorem is referenced by: gcdadd 12152 gcdid 12153 modgcd 12158 gcdmultipled 12160 gcdmultiple 12187 pythagtriplem4 12437 gcdi 12589

W3C validator